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우리가 매일 걸어 다니는 길거리의 보도블록과 건물의 벽면을 가득 채우는 타일들을 살펴보면 빈틈과 겹침 없이 메워져 있다. 그런데 다각형이 아닌 타일 조각은 어떻게 만들었을까?

‘헤슈 타일’로 테셀레이션 작품을 만들어 보면서 수학적 원리를 탐구해 보자.

헤슈 타일이란?

‘테셀레이션’은 어떠한 빈틈이나 겹침 없이 평면이나 공간을 도형으로 완벽하게 덮는 것을 말한다. 우리 생활 주변에서 쉽게 찾아볼 수 있는데, 대표적인 예로 거리의 보도블록, 욕실의 타일, 벽화, 궁궐의 단청이 있다.

또한 예술작품에서도 나타나는데, 네덜란드의 판화가 모리츠 코르넬리스 에셔의 작품이 유명하다. 에셔는 도마뱀, 새, 나비 등 다양한 모양으로 테셀레이션 작품을 만들었다. 여기에는 어떤 수학적 원리가 담겨 있을까?

독일의 수학자 하인리히 헤슈는 에셔의 작품에서 수학적 원리를 발견하고, 비대칭 모양의 타일로 평면을 채우는 총 28가지의 ‘헤슈 타일’을 고안했다. 헤슈 타일은 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형의 변을 변형한 뒤 짝이 되는 다른 변으로 이동하거나 변의 일부를 변형한 뒤 회전시켜 만든다. 이 타일을 이용하면 에셔의 작품처럼 비대칭 조각으로도 테셀레이션을 쉽게 만들 수 있다. 이제 헤슈 타일을 만드는 변의 이동 방법에 대해 살펴보자.