d라이브러리

여러분 안녕하십니까! 신기한 일만 찾아다니는 ‘세상에 이런 일이!’의 최 PD입니다. 제가 놀라운 이야기 하나 해 드릴까요?
글쎄, 인간도 어려워하는 ‘수학’에 통달한 동물들이 있다고 합니다! 거짓말이라고요?
저도 처음에는 못 믿었죠. 하지만 제가 누굽니까?
직접 숲속과 바닷속, 그리고 북극까지 가서 그 놀라운 생물들을 만나고 이제 막 돌아왔답니다. 아직 방송 전이지만 특별히 <;수학동아>; 독자 여러분께만 살짝 이야기해 드리죠!

1 반딧불이는 방정식의 달인?

우선 제가 취재를 하게 된 이야기를 들려드려야겠군요. 어느날 한 미국 수학자가 제게 이메일 보내왔어요. 미국에서도 ‘세상에 이런 일이!’를 ‘본방사수’ 하고 있다나 뭐라나…. 아무튼 제보를 하겠다며 뜬금없이 반딧불이 얘기를 꺼내지 뭡니까?

최 PD님, 안녕하세요? 저는 미국에서 ‘세상에 이런 일이!’를 시청하고 있는 수학자 ‘스티븐 스트로가츠’입니다. 오늘은 PD님께 수학의 달인이라고 할 수 있는 놀라운 동물을 소개해 드리죠. 바로 여름밤 숲속에서 신비로운 불빛을 내뿜는 곤충인 반딧불이입니다. 손톱만 한 곤충이 수학의 ‘수’자나 알겠냐고요? 천만의 말씀, 만만의 콩떡! 궁금하시다면 제가 첨부한 동영상을 확인해 보시죠!

수학적으로 깜빡이는 반딧불이!

반딧불이는 6월에서 9월에 숲속 개울가에서 관찰할 수 있는 곤충이다. 반짝이는 불빛을 내뿜어 이성을 유인하는 반딧불이들의 군무는 마치 동화 속 한 장면 같은 장관을 연출한다. 1930년대 초 생물학자 휴 스미스는 이처럼 각자 깜빡거리던 반딧불이가 서서히 박자를 맞춰 불빛을 내뿜는 ‘동기화 현상’을 발견해 논문으로 발표했다. 그리고 약 30년이 지난 1964년, 미국의 수학자 아서 윈프리는 반딧불이들의 동기화를 수학적으로 설명해서 화제를 모았다.

반딧불이들은 뱃속에 있는 화학물질을 이용해 주기적으로 불빛을 내뿜는다. 마치 충전해서 다시 쓰는 건전지처럼, 한 번 불빛을 내뿜으면 정해진 시간 동안 불빛을 준비한 뒤 다시 발사한다. 이같은 반딧불이의 행동은 시계추처럼 주기적으로 왔다갔다하는 왕복운동이라고 할 수 있다.
 
반딧불이 수학 따라잡기!

설명을 듣자마자 ‘바로 이거다!’ 싶었어요. 요즘 방송에 소개할 만한 참신한 소재가 없어서 고민이었거든요. 그런데 이렇게 어렵고 복잡한 반딧불이 수학을 어디에 쓰냐고요?

보드게임처럼 이해하는 반딧불이 동기화!

영국 수학자 이언 스튜어트는 반딧불이 동기화 원리를 간단한 보드게임 형태로 설명했다. 이 게임의 게임판은 기본적으로 사각형이지만, 삼각형 또는 다른 다각형이어도 상관없다. 게임판은 여러 개의 사각형 칸으로 이루어져 있고, 4개의 구역으로 나뉜다. 게임 참가자들은 먼저 각자의 순서를 정한 뒤, 자신의 반딧불이를 놓을 칸을 선택한다. 그 지점이 게임을 시작하는 자리가 된다.

보통 보드게임에서는 순서대로 한 명씩 자신의 게임말을 움직이지만, 이 게임에서는 순서에 상관 없이 모두 동시에 한 칸씩 이동시킨다. 이동 방향은 시계방향인데, 굵은 선으로 표시된 네모칸에 도착하면 그 반딧불이는 불빛을 낸다.
 
여기에 한 가지 중요한 규칙이 더 있다. 한 마리가 불빛을 발사하면 나머지 반딧불이들은 현재 있는 변의 번호에 해당하는 숫자만큼 앞으로 나간다. 예를 들어 2번 구역에 있는 반딧불이는 2칸, 4번 구역에 있는 반딧불이는 4칸을 더 이동하는 것이다.

그런데 만약 어떤 반딧불이가 빛을 내는 지점에 있을 때 다른 반딧불이가 추가로 이동하다가 그 지점에 도착하면 그대로 멈춰야 한다. 이 상황은 한 번 더 빛을 내는 상황으로, 불빛 칸에 있지 않은 나머지 반딧불이는 규칙에 따라 현재 위치 번호만큼 한 번 더 이동한다. 그리고 한 칸에 두 반딧불이가 들어가면 그때부터 함께 이동한다. 이 규칙은 반딧불이들 사이의 상호작용을 나타내는 것으로, 결국 게임을 할수록 각 반딧불이들 사이의 간격은 점점 더 가까워진다. 이렇게 계속 게임을 진행하다 보면 결국 모든 반딧불이가 한 칸에 모이게 되는데, 이때가 바로 모든 반딧불이가 동기화되는 시점이다. 그리고 게임은 마지막으로 반딧불이를 동기화시키는 사람이 이기게 된다.

그런데 이 게임은 출발점에서 시계방향으로 가장 가까운 칸을 선택한 사람이 무조건 이기게 된다. 이건 실제로 게임을 해 보면 금방 알 수 있다.
 
뇌의 비밀을 밝히는 반딧불이!

반딧불이의 동기화 원리는 뇌 과학 연구에 적용할 수 있다. 실제로 김승환 포스텍 물리학과 교수는 반딧불이의 동기화에서 얻은 아이디어를 바탕으로, 뇌 신호를 전달하는 세포인 뉴런이 각자 담당하는 신호를 나누어 갖는 원리를 밝혔다.

뇌에 있는 수많은 뉴런들은 태어나기 전에는 모든 종류의 자극에 반응하다가 점차 부위별로 전달하는 신호를 분담한다. 예를 들어 뇌의 시각피질에 있는 뉴런들은 시각 신호만을 전달한다. 그리고 그 뉴런들 사이에서도 각자 담당하는 시각 신호가 다르다. 다양한 방향에서 오는 신호가 저마다 다른 뉴런에 의해서 전달되는 것이다. 이때 같은 종류의 시각 신호를 전달하는 뉴런들은 작은 무리를 형성하고 있다. 뉴런들이 부위별로 동기화된 결과다.

김승환 교수 연구팀은 뉴런들이 동기화되는 원리 역시 반딧불이들의 동기화 원리와 같을 것이라고 추측했다. 그리고 반딧불이의 동기화처럼, 시각피질 뉴런의 동기화를 설명하는 수식을 만들었다. 이 수식을 이용해 컴퓨터로 실험한 결과, 시각피질의 각 부위 뉴런들이 서로 다른 종류의 시각 신호에 동기화 되는 것으로 나타났다.

2 무리짓는 정어리는 계산 도사?

어떻습니까, 정말 대단하지요? 제가 반딧불이를 취재하기 위해 산속에 숨어서 며칠 밤을 보냈는지 모릅니다. 하하! 반딧불이는 시작에 불과해요. 이번에는 초스피드 계산 능력을 자랑하는 바닷속 계산의 달인, 정어리떼를 소개하겠습니다.

세 가지 계산을 한 번에!

정어리는 바닷속 먹이사슬 중에서도 가장 약한 물고기 중 하나다. 하지만 동료들과 거대한 무리를 이루어서 큰 물고기의 위협으로부터 스스로를 보호한다. 생물학자들은 정어리떼가 만드는 ‘피쉬 볼’이 포식자들에게 마치 거대한 물고기를 만난 것 같은 느낌을 준다고 설명한다.

이처럼 생물학자들의 관심사가 동물들이 무리를 짓는 ‘이유’라면, 수학자들이 궁금해 하는 것은 무리를 지어 움직이는 ‘방법’이다. 예를 들어 정어리떼는 조밀한 간격을 유지하면서 평행하게 움직인다. 도대체 어떻게 이렇게 할 수 있는 걸까?

미국의 컴퓨터 그래픽 전문가인 크레이그 레이놀즈는 1987년에 생물들의 무리짓는 행동을 수학적인 규칙으로 설명했다. 그의 연구에 따르면 무리짓는 동물들은 왼쪽 그림처럼 분리와 정렬, 응집 규칙에 따라 효과적으로 움직인다.

이처럼 무리지어 움직이는 동물들은 목표 지점을 인식하고 정해진 경로를 따라 이동하는 것이 아니라, 매 순간 가장 가까운 동료들과 자신의 관계를 점검하면서 속도와 방향을 조정하는 것이다. 이런 특징 때문에 동물들이 무리짓는 원리를 ‘상태 없는 알고리즘’이라고 부르기도 한다.
 
영화에서 게임까지!

분리와 정렬, 응집 규칙 같은 동물들의 무리짓기 원리는 컴퓨터 그래픽과 게임 제작에도 사용된다. 특히 크레이그 레이놀즈는 1992년 개봉한 영화 ‘베트맨 리턴즈’에서 무리지어 움직이는 박쥐들을 표현할 때 이 규칙을 활용했다. 그 원리는 기본적으로 분리와 정렬, 응집 규칙을 ‘극좌표’와 ‘벡터’ 개념으로 표현하는 것이다.

극좌표는 평면 또는 공간 위에 있는 물체의 위치를 거리와 각도로 나타내는 방법으로, 십자 모양으로 x축과 y축을 교차시킨 ‘직교좌표’와는 다른 개념이다. 극좌표에서는 기준점으로부터의 거리와 각도로 물체의 위치를 표시한다. 또 벡터란 물체의 속도처럼 크기와 방향을 가진 정보를 손쉽게 표현하는 수학적인 개념으로, 화살표 형태에 크기와 방향에 대한 정보를 담아 한꺼번에 표현할 수 있다.

공상과학 영화와 게임에서는 무리지어 움직이는 물체를 표현하기 위해 우선 한 물체를 중심으로 주변에 있는 물체를 극좌표로 표현해야 한다. 그리고 분리와 정렬, 응집 규칙에 따라 이동해야 하는 거리와 방향을 계산하도록 컴퓨터 프로그램을 짠다. 주변 동물들의 무게중심이나 이동 방향의 평균 등을 계산하는 것이다. 이렇게 계산된 값은 기준이 되는 물체로부터 얼마간의 거리와 방향을 가진 벡터값으로 표시되고, 물체는 그에 따라 이동한다.

이 방법은 한 물체와 가까이에 있는 물체들의 관계를 계산하기 때문에, 다른 방법에 비해 컴퓨터가 빠르게 처리할 수 있다는 장점이 있다.

3 인구 밀도를 계산하는 나그네쥐?

저는 정어리떼 취재를 위해 국내 최초로 물고기 분장을 하고 잠수 취재를 했습니다. 무리짓는 동물들이 본능적으로 방향과 위치를 계산한다니, 정말 놀랍지 않습니까? 자, 이번에는 16세기부터 불가사의한 생물로 여겨져 온 ‘나그네쥐’의 신비한 수학 능력을 공개하겠습니다.
그 전에 우선 영국 옥스포드대 수학과 교수 마커스 드 사토이 씨가 보내온 희귀한 영상을 먼저 확인하시죠.

쥐도새도 모르게 사라지는 나그네쥐의 비밀

나그네쥐는 북극과 툰드라 지역에 사는 설치류 동물이다. 그런데 귀엽게만 보이는 이 작은 생물의 탄생과 죽음에는 아직까지 풀리지 않은 불가사의한 이야기가 전해내려 온다.

16세기 프랑스 스트라스부르 지역의 지리학자 지글러는 나그네쥐가 하늘에서 만들어진 뒤, 바람 부는 날 땅으로 떨어져내린다고 주장했다. 그리고 이른 봄 잔디가 자라기 시작하면 갑자기 모두 죽어버린다고 설명했다. 지금은 당연히 나그네쥐가 하늘에서 갑자기 생기는 생물이 아니라는 것을 알지만, 그 죽음에 대한 의문은 아직도 풀리지 않고 있다. 실제로 약 4년을 주기로 나그네쥐의 개체수가 거의 멸종 직전까지 줄어들기 때문이다.

생물학자들은 오래 전부터 이 현상을 연구해 왔지만, 아직까지 명확한 이유는 밝혀내지 못했다. 일부 학자들은 동영상에서처럼 나그네쥐들이 줄지어 절벽에서 떨어져 내리는 ‘자살’을 선택한다고 설명한다.

하지만 이 주장 역시 근거가 부족하다. 그런데 마커스 드 사토이 교수는 나그네쥐의 주기적인 개체수 감소를 수학적으로 설명해서 주목을 받았다.



새나 곤충이 날기 시작하면 공기와 날개의 속도 차에 의해 날개 앞쪽과 뒤쪽 모서리에 각각 소용돌이가 생긴다. 이때 뒷부분에 생긴 소용돌이는 금세 떨어져나가지만, 앞날개에 생긴 소용돌이는 계속 유지된다.

그런데 이 소용돌이는 동물이 큰 폭으로 날갯짓을 하면 그 주기에 맞춰 떨어져나가서 도넛 모양의 흔적을 남긴다. 반면 바람을 타면서 작은 폭으로 날갯짓을 할 때는 떨어져나가지 않고 마치 사인곡선처럼 출렁이며 흘러가게 된다.

이처럼 날아다니는 동물들이 만드는 패턴의 규칙을 설명하는 수식도 있다. 이름하여 ‘스트롤 수’와 ‘레이놀즈 수’다.



5 걷다 보니 패턴 전문가?

집안에서 날아다니는 모기와 파리가 기하학 전문가라니, 정말 놀랍지 않습니까? 어이쿠, 벌써 시간이 이렇게 됐네요. 저는 이제 방송 준비를 하러 가 봐야 할 것 같습니다. 마지막으로 바로 어제 촬영을 마친 동물들 이야기를 들려드리죠!

걸음걸이가 만드는 수학적인 규칙
 
두 발로 걷는 사람에서부터 254개나 되는 다리를 가진 지네까지, 모든 육상 동물은 땅 위에 흔적을 남긴다. 그리고 수학자들은 마치 탐정처럼 동물의 발자국과 걸음걸이 패턴에서도 수학적인 규칙을 찾아낸다.

걸음걸이는 보통 한 방향을 향하며, 그 모양이 주기적으로 반복된다. 수학자들은 이처럼 한 방향으로 반복되는 주기적인 패턴을 모두 7가지로 분류할 수 있다는 것을 알아내고, 이를 ‘프리즈 패턴’이라고 부른다.

그런데 아무리 한 방향이라도 동물에 따라 걸음걸이 패턴이 다양한데, 어떻게 모든 한 방향 패턴을 7가지 종류로 분류할 수 있다는 걸까? 그 원리는 바로 ‘대칭’에 있다. 모든 패턴은 기본 패턴 요소를 7가지 방법으로 이동시켜서 만든 대칭 도형이기 때문이다. 그 7가지 방법이란 회전과 평행이동, 수평과 수직 변환을 조합한 것이다.

예를 들어 사람이 한 발로 뜀뛰기를 할 때 생기는 걸음걸이(한 발 뛰기)는 평행이동을 하면 서로 겹쳐진다. 그런데 치타가 뛰면서 만들어내는 발자국도 평행이동으로 겹칠 수 있다. 즉, 사람과 치타는 발자국 모양이 다르지만, 평행이동으로 겹칠 수 있기 때문에 같은 종류의 패턴이다.
 
그런데 프리즈 패턴으로 표현한 동물들의 걸음걸이는 새로운 발견을 이끌어내기도 한다. 영국 수학자 이언 스튜어트는 네 발 달린 동물이 만들 수 있는 걸음걸이의 패턴 종류를 연구했다. 그리고 2001년 당시까지는 어떤 동물에게서도 발견되지 않은 새로운 종류의 걸음걸이 패턴도 있을 수 있다는 것을 알아냈다. 그 걸음걸이 패턴은 다음과 같다.

네 발 동물의 걸음걸이가 네 박자의 같은 시간을 주기로 반복되는 패턴이라고 하자. 그러면 먼저 앞발 두 개가 동시에 땅을 박찬 뒤, 다음 박자에서 동시에 뒷발 두 개가 땅을 박차고, 나머지 두 박자 동안 네 발 모두 공중에 떠 있다가 다시 앞발 두 개가 한꺼번에 착지하는 형태의 걸음걸이도 생각해 볼 수 있다.

이언 스튜어트는 과연 이런 걸음걸이가 있을지 찾아보았다. 그리고 놀랍게도 카우보이 게임에서 야생마가 카우보이를 떨어트리기 위해 날뛰는 동작이 자신이 예측한 패턴과 똑같다는 것을 알아냈다.
 
그런데 이같은 동물의 걸음걸이를 왜 이렇게 공들여서 연구하는 걸까? 물론 걸음걸이에서 발견할 수 있는 수학적인 규칙 자체도 아름답지만, 그 이유는 바로 안전하게 걸어다니는 로봇을 만들기 위해서다.

이처럼 반딧불이 동기화와 무리짓기, 날갯짓 패턴 등 자연에서 찾을 수 있는 수학적인 원리는 뇌 연구에서 로봇 개발까지 다양한 첨단 연구의 시작점이 되고 있다.