d라이브러리

지난 호에 이어 이번 호도 경기도 분당에 자리한 이매중학교를 방문해 ‘연산 정복하기!’ 두 번째 처방전을 받아 왔습니다. 이번에는 ‘식의 연산’에 대해 자세히 알아봅니다. 오늘 도움 말씀을 주실 이매중 곽정원 선생님은 교육방송(EBS)에서 10년째 수리영역을 강의하고 계신데, 2011년에는 ‘중1 예비과정 수학’‘고1 예비과정 수학’ 등 여러 프로그램을 맡아 강의하실 예정입니다. 인기 만점 곽정원 선생님께 식의 연산을 정복할 노하우를 들어 봅시다.

선생님, 궁금합니다!

●선생님, ‘연산’의 종류에는 어떤 것들이 있나요?

연산은 ‘정해진 방법에 따라 계산해 필요한 답을 얻는 것’을 말합니다. 지난 시간에 살펴본 대로 수에 관한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 네종류의 계산법을 이용하는 사칙연산이 대표적이었죠. 하지만 학년이 올라감에 따라 수뿐만 아니라 문자도 함께 사용하는 식의 계산까지 ‘연산’의 범위가 확장되죠. 이것을 ‘식의연산’ 이라고 합니다.

●그렇다면 중학교 과정에서 배우는 ‘식의 연산’과 관련된 단원에는 어떤 것들이 있을까요?

중학교 1학년 때 가장 먼저 간단한 일차식의 계산과 그 활용을 공부합니다. 이때 사칙연산이 아닌 새로운 연산을 처음 배우죠. 중학교 2학년 때는 학생들이 대표적으로 어려워하는 ‘한 문자에 대해 정리하라’는 문제를 만납니다. 물론 중1 과정에서 발전한 연립방정식 단원도 등장하고요.

중학교 3학년 때는 일차식의 개념을 토대로 이차식의 계산을 공부합니다. 이차방정식의 개념을 이해하면 연산을 이해하는 힘을 얻을 수 있지요. 물론 어김없이 방정식의 활용 단원도 등장하고요. 또 이때 근호(루트)를 포함한 계산식과 분모의 유리화 등의 새로운 개념도 배웁니다. 고등학교 과정의 기초를 다지기 위해 다항식의 전개와 인수분해가 연산 관련 단원으로 나오죠. 중학교 3년에 걸쳐, 계단식 교육과정이 도입되기 때문에 학교에서 시기를 놓쳐 어설프게 넘어온 부분은 요즘과 같은 방학을 이용해 틈틈이 보충하는 것을 추천합니다.

●선생님, 학생들은 어떤 문제를 만날 때 실수를 하나요?

바로 출제자가 정해준 연산의 정의대로 값을 대입해 계산하는 연산 부분이죠. 이해를 돕기 위해 예를 하나들게요.

연산 a★b=a+b-2a라 할 때, b★a를 일차식으로 표현해 보세요.

이 문제를 정확하게 풀려면 무엇보다 새로운 연산 a★b의 정의를 이해하는 과정이 필요하겠죠. 이 연산의 약속은 ‘앞의 것 더하기 뒤의 것에서 두 배의 앞의 것을 빼라’는 것입니다.

하지만 연산의 약속을 정확히 이해하지 못한 경우, 학생들은 문자 a와 b의 의미를 혼동해 헷갈리고 맙니다. b★a=b+a-2a로 실수하기 쉽다는 것이죠. 사실 정답은 b★a=b+a-2b인데 말이죠. 이러한 연산을 항이 2개 이상인 연산, 즉 이항연산이라고 부릅니다.

선생님만 알고 있는 비밀

●선생님, ‘연산’ 의 가장 중요한 핵심은 무엇인가요?

연산에서 가장 중요한 첫 번째 열쇠는 속도와 정확도입니다. 바로 ‘신속, 정확’이 생명인 자장면 배달과 같죠. 두 번째 열쇠는 PMP(Practice Makes Perfect)입니다. 연습만이 실수의 구렁텅이에서 끄집어내 줄 수 있는 가장 중요한 도구라는 사실이죠. 물론 꾸준한 연습은 실천하기 쉽지 않죠.

식의 연산 관련 단원에서 학생들의 발목을 잡는 대표 단원은 3년 과정을 통틀어 ‘방정식의 활용’ 단원이에요. 활용 단원을 정복하려면 문제를 읽을 때 항상 끊어 읽는 연습을 하고, 문제에서 제공해 주는 정보들을 간단한 수식으로 나타내는 연습이 필요합니다.

또한 ‘소금물에 관한 문제’라면 주어진 문제를 농도에 관한 식으로 세울지, 소금의 양에 관한 식으로 세울지를 먼저 결정해야 해요. 항상 출제자가 ‘무엇’을 구하라고 했는지를 끝까지 혼동하지 않도록 하는 집중력도 필요하죠. 함정으로 파놓은, 필요 없는 정보에 낚이지 말고 숨겨진 x의 조건을 정확히 파악할 수 있도록 문제를 익히는 것이 가장 중요해요.

이매중 학생들의 생생 노하우

이매중에서 곽정원 선생님과 함께 만난 8명의 3학년 학생들은 너 나 할 것 없이 ‘식의 연산’과 관련된 가장 어려운 단원으로 ‘방정식의 활용’ 단원을 꼽았어요. 활용 단원의 어떤 점이 학생들을 힘들게 하는지 궁금했어요. 혹시 이를 정복할 수 있는 노하우가 있는지도요..

나영선 학생은 곽정원 선생님께서 말씀하신 ‘연습만이 살 길이다’를 직접 실천했다고 해요. 중학교 1학년 때 수학 시험 점수를 깎아 먹었던 방정식의 활용을 정복하려고 2학년 1학기 때는 같은 문제집을 8번 풀었던 경험을 이야기해 줬어요. 유형별로 기본을 스스로 정리해 암기하고 투자한 시간만큼 점수를 올리기 위해 온갖 노력을 했다고요. ‘식의 연산’을 정복하려면 우선 ‘식 세우기’를 잘해야 하고, ‘식 세우기’를 잘하려면 ‘기본 연산 실력’이 가장 중요한것 같다고 설명했어요.

이헌준 학생은 활용 문제와 식의 연산 문제의 공통점이 있다고 했어요. 바로 실수에 대처하는 자세가 가장 중요하다고요. 물론 사칙 연산 문제도 그렇고요. 실수했을 때 자신감이 떨어지면 다음에 비슷한 문제를 풀 때 다시 영향을 받으니 과감히 실수를 인정하고 자신의 ‘공부재산’을 늘렸다고 긍정적으로 생각하는 연습을 추천했어요.

●‘식의 연산’ 부분에서 학생들이 자주 하는 연산 실수가 있나요?

중학교 1학년 ‘일차식의 계산’ 단원에서는 다음의 두 가지를 구별하지 못하고 헷갈리는 학생들이 있어요.

① □÷$\frac{1}{2x}$ ② □÷2x   ⓐ □×2x ⓑ □×$\frac{1}{2x}$

사실 식 ①은 식 ⓐ와 같고, 식 ②는 식 ⓑ와 같다는 것을 초등학교 때부터 배웁니다. 바로 ‘÷는 ×로 바꾸고 수는 역수를 취한다’는 연산의 성질이죠. 이론은 잘 알고 있지만 막상 문제에서 숫자가 아닌 문자와 함께 등장했을 때는, 학생들은 가끔 두 가지를 헷갈리곤 합니다. 이것은 누구나 한번쯤 혼동할 수 있는 부분이니 크게 실망하지 마세요. 평정을 되찾고 올바른 방법으로 문제를 해결한다면 아무 문제가 되지 않으니까요.

이어 중학교 2학년 학생들은 일차식의 계산을 확장한 이차식의 계산을 배우는데, 비슷한 실수를 해요. 문제를 보고 설명할게요.

(${7x}^{3}$-3xy)÷$\frac{1}{2x}$

이 문제에서 뒤에 나오는 (÷$\frac{1}{2x}$)을 괄호 안의 두 개 항에 모두 적용하지 않아서 결과를 다르게 만드는 경우가 있죠. 아니면 (÷$\frac{1}{2x}$)의 ÷를 ×로 착각해 (÷$\frac{1}{2x}$)을 그대로 곱하기도 하죠. 같은 실수를 자꾸 반복한다면, 단항식과 다항식의 계산에서 나누기는 역수를 곱한다는 개념을 다시 공부해야 합니다. 여러분, ‘창의력을 발휘해’자꾸 새로운 법칙을 만들지 마세요(웃음).

도전! 나만의 수학문제 만들기

예시

a÷b÷c×d와 같도록 변형한 식을 만들어 보자. 이 문제를 풀려면, 우선 주어진 식을 간단히 정리하는 것이 좋다. a÷b÷c×d=$\frac{ad}{bc}$. 즉 (a×d)÷(b×c)인데, 과감히 괄호를 생략해 a×d÷b×c로 잘못 쓰는 실수는 하지 말자. a×d÷b×c=$\frac{acd}{b}$로 $\frac{ad}{bc}$와는 다르니까.

도전

5a×(3b÷c)÷$\frac{1}{2}$d와 같도록 변형한 식 5가지를 만들어 보자.