d라이브러리

집합의 뿌리를 찾아서 여행하고 돌아오다 그만 길을 잃고 말았어요. 길을 가도 가도 여기가 어딘지 모르겠어요. 어쩌죠? 아! GPS~! 인공위성을 이용해 내 위치를 알려 주는 똑똑한 GPS가 있었지. 휴대폰에 GPS 기능이 있었는데…. 이제 쉽게 길을 찾을 수 있겠어요. 수학동아 친구들, GPS에도 함수의 원리가 숨어 있다는 사실을 알고 있나요? 현재의 위치를 파악해 가고자 하는 길을 안내해 주는 GPS는 함수에서 배우는 좌표를 이용해 그 위치를 알려 준답니다. 말 나온 김에 이번에는 함수의 뿌리를 찾아서 떠나 봐요!
 

✚함수는 지난 시간에 배운 집합과 밀접한 관계가 있다. 함수를 정의하기 위해서는 두 개의 집합이 필요하기 때문이다. 함수는 어떤 집합의 모든 원소가 또 다른 집합의 원소와 하나씩 짝지어진 관계를 말한다. 함수는 영어로 function이라고 하는데 이 단어는 1692년에 라이프니츠가 처음 사용한 것으로 알려져 있다. function은 ‘실시’, ‘이행’, ‘작용’을 뜻하는 라틴어 functio(풍크티오)에서 유래했다. 두 집합의 원소가 서로 짝짓는 일을 함수라고 생각하면 function이라는 단어를 기억하기 쉽다.

함수의 정의에서 어떤 집합의 원소를 x라고 나타낸다. 이때 x는 여러 가지로 변할 수 있는 값, 즉 변수라고 한다. 변수는 영어로 variable이다. 이 단어는 variabilis(바리아빌리스)라는 라틴어에서 유래했다. variabilis는 ‘바뀌기 쉬운’이란 뜻으로 주로 기후나 계절을 나타낼 때 많이 사용했다.

x를 원소로 한 어떤 집합을 정의역이라고 한다. 공역은 정의역과 짝짓게 될 원소를 모아 놓은 집합이다. 이 집합의 원소를 y라고 나타낸다. 정의역의 x값이 함수에 의해 y값으로 정해지면 이때의 y값을 함숫값이라고 한다. 함숫값의 전체의 집합을 치역이라고 한다.

정의역을 뜻하는 영어단어는 domain으로 고대 프랑스어의 ‘영주’, ‘영지’,‘주인’을 칭하는 dominus(도미누스)에서 왔다. 정의역에 따라 함숫값이 결정되기 때문에 중요한 역할을 담당한다는 뜻에서 domain으로 이름 붙였다고 생각하면 된다. 공역을 뜻하는 codomain은 domain과 함께 공동의 영역을 이룬다는 뜻으로 domain에 ‘함께’를 뜻하는 co를 붙여 만들었다. 치역은 영어로 range다. range는 치역이라는 뜻 외에 ‘지역’, ‘범위’, ‘면적’ 등의 의미를 갖는다. 원래 소나 양들이 풀을 뜯어 먹는 범위를 뜻하는 단어에서 유래했다.

두 변수 x, y를 이용해서 함수를 정의해 보자. x값이 변함에 따라 y값이 오직 하나로 대응될 때, y를 x의 함수라고 한다. 일반적으로 정의역은 X로 표기하고 공역은 Y로 표기한다. 따라서 함수를 f :X→Y표기하기도 한다. 일반적인 함수 기호는 y=f (x)다.

지금부터 여러 가지 함수에 대해 살펴보자. 우선 일대일함수에 대해 알아보자. 일대일함수는 정의역의 원소 모두가 공역의 서로 다른 원소로 대응한 함수를 말한다. 일대일함수를 영어로 one-to-one function 또는 injective function이라고 한다. 일대일함수에서 특별히 치역과 공역이 같을 때를 일대일 대응이라고 한다. 일대일 대응을 영어로 one-to-one correspondence 또는 bijective function이라고 한다. 일대일함수가 아니면서 공역과 치역이 같은 함수를 영어로 onto 또는 surjective function이라고 한다.
 

주어진 함수를 그림으로 쉽게 표현해 주는 그래프! 그래프를 그리는 공간인 좌표에 대해 알아보자. 수직선 위의 점에 대응하는 수를 그 점의 좌표라고 하는데 변수가 2개일 때의 좌표를 영어로 coordinate plane이라고 한다. 좌표는 수평축, 수직축으로 구성되는데 각각 x축과 y축으로 부른다. 수평축은 영어로 horizontal axis라고 하고 수직축은 영어로 vertical axis라고 한다. 축과 축이 만나는 원점은 영어로 origin이다. origin은 ‘시작’, ‘탄생’, ‘근원’을 뜻하는 라틴어 origo(오리고)에서 유래했다.

x값과 y값을 보기 좋게 표현하는 방법으로 순서쌍이 있다. 순서쌍은 (x, y)와 같이 괄호 안에 x값과 y값을 순서대로 적어 넣는 방법이다. 순서쌍은 영어로 ordered pair이다. 순서쌍을 좌표로 하는 점 전체를 좌표평면 위에 나타낸 것을 함수의 그래프라고 한다.

함수 f :X→Y가 일대일 대응일 때 Y를 정의역으로 X를 공역으로 갖는 새로운 함수를 얻을 수 있는데 이 함수를 f의 역함수라고 한다. 역함수는 기호로 f -1이다. 역함수를 뜻하는 영어단어는 inverse function이다. verse는‘쟁기’, ‘뒤집다’를 뜻하는 라틴어 vertere(베르테레)에서 유래했다. 농부가 밭을 갈기 위해 쟁기로 땅을 뒤엎는 장면을 떠올리면 inverse라는 단어를 쉽게 기억할 수 있다.
 

함수를 그림으로 확인하는 방법에 대해 알아보자. 그래프에 y축과 평행한 직선을 그림과 같이 그어 보자. 그래프와 직선이 교차하는 점이 오직 한 곳이라면 이 그래프는 함수다. 그래프와 직선이 교차하는 점이 두 곳 이상이라면 이 그래프를 함수라고 할 수 없다. 함수의 정의에 의해 정의역의 원소는 주어진 함수에 의해 단 하나의 값을 가져야 하기 때문이다. 그래프가 함수인지를 알아보는 이 방법을 영어로 vertical line test라고 한다.
 

그래프에 x축과 평행한 직선을 그었을 때 직선과 점이 한 곳에서 만나면 이 함수는 일대일함수다. 만약 두 점 이상에서 만나면 이 함수는 x에 대해 같은 값을 갖는 원소가 존재하기 때문에 일대일함수가 아니다. 일대일 함수인지를 알아보는 이 방법을 영어로 horizontal line test라고 한다.
 

함수와 관련된 용어를 살펴보았다. 수학용어를 통한 영어단어 공부를 통해 수학과 영어에 흥미를 높일 수 있는 시간이 됐길 바란다.