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혼돈운동은 민감하고 제어에 대해 매우 빠르게 작용한다. 또 복잡한 구조 안에 무한한 정보를 가지고 있기 때문에 응용의 잠재성이 뛰어나다.

혼돈이론은 자연의 복잡성을 다루는 과학이다. 우리는 주위에서 그 양상이 매우 복잡해서 불규칙적이고 예측불가능해 보이는 현상들을 흔히 관찰할 수 있다. 그것들은 주가 등 경제지표의 변동, 장기간의 기상변화, 지진 해일의 비예측적 발생 등 일련의 신호들의 배열로써 나타난다. 혹은 구름의 다양한 모양, 피어오르는 연기의 불규칙한 흩어짐, 끓는 물의 운동, 해안선의 복잡한 구조 등에서와 같이 공간적인 복잡성으로 나타나는 다양한 현상들이다.

이런 복잡한 현상들은 그 배후에 어떤 결정론적 법칙이 있다 하더라도 그 현상과 관련된 물리적 변수들이 너무 많아서 결정론적인 방법으로 다루는 것을 포기해야 하는 경우가 대부분이다. 하지만 관련된 물리적 변수의 수가 너무 많다는 점이, 즉 계의 복잡성이 항상 복잡한 운동을 야기하는 것은 아니다.

때로는 확산(dissipation) 등의 메커니즘에 의해 실제로 고려되어야 할 변수의 수가 단지 몇개인 경우로 귀착되는 예가 또한 많다. 이와같이 계의 운동에 관여하는 변수들이 많지 않을 때, 그 계의 운동을 예측하기 위한 노력의 양은 훨씬 줄어들 것이며, 결정론적 방법을 이용한 해석의 가능성은 더욱 높아질 수 있을 것이다.

하지만 혼돈이론이 우리에게 주는 교훈 중의 하나는, 계가 간단하여 물리적 변수의 수가 적고, 또 그 변수들간에 어떤 결정론적인 법칙이 존재해서 계의 운동이 그것에 의해 조정된다 할지라도, 오랜시간 후에 계는 예측불가능한 혼돈운동을 할 수 있다는 것이다. 이 사실을 언뜻보면, 자연의 복잡성을 이해하고 그것의 미래를 예측하는데 있어서, 혼돈운동이 오히려 비관적인 관점을 견지하는 것처럼 보일 수 있다.

물론 이것은 사실이 아니다. 혼돈운동은 외관상 불규칙적이고 비예측적이어서 임의적 운동처럼 보이지만, 기이한 끌개의 예에서 볼 수 있듯이, 그 불규칙성의 이면에는 잘 정의된 질서구조가 공존한다.

혼돈의 응용 가능성은 바로 이 불규칙성에 내재한 질서구조로부터 나온다. 또한 혼돈이론은 혼돈운동의 복잡성을 정량적으로 규정하는데 그치지 않고, 혼돈운동을 제어할 수 있는 방법까지도 암시를 한다. 혼돈은 외관상 훨씬 다루기 쉬워 보이는 규칙적 운동이 갖고 있지 않은 여러가지 장점들을 갖고 있다. 그 하나는 혼돈운동은 매우 민감한 운동이기 때문에, 제어에 대해 매우 빠른 속도로 반응할 수 있다는 것이다. 또 다른 하나는 그것의 복잡한 구조가 암시하듯이, 혼돈은 그 안에 무한한 정보를 갖고 있다는 점이다.

이제 혼돈은 공학자들에게 있어 피해야 하는 현상이 아니라, 오히려 그 장점을 이용하여 무궁무진한 응용을 기대할 수 있는 대상이 되었다고 해야 할 것이다.
 

혼돈이 갖는 결정론적 본성

혼돈이론은 간단한 모형계들을 사용하여 이들이 혼돈운동을 할 수 있음을 보이고, 또한 이들 혼돈운동에 대해 리아푸노프(Lyapunov)발산지수*, 프랙탈 차원 등의 정량적 측도를 계산할 수 있다.하지만 대부분의 실험적 측정에서 운동의 형태는 흔히 단일변수의 시계열(time series)로 얻어진다. 이는 많은 경우에 우리가 계의 운동에 관련된 모든 변수들을 알 수 없기 때문이며, 또한 그것들의 존재를 안다해도, 모든 변수들을 동시에 측정한다는 것은 대부분 불가능하기 때문이다.

따라서 실제의 실험적 측정에서 운동계에 대한 우리의 정보는 불완전하다고 할 수 있다. 측정을 통해 얻은 시계열의 형태는 단순한 규칙성을 보일 수도 있고 복잡한 양태를 보일 수도 있다.

어떤 시계열이 매우 불규칙하고 복잡하여 비예측적인 양태를 보인다고 하자. 우리는 그것이 결정론적인 혼돈운동인지 아니면 임의적 운동인지 구별할 수 있을 것인가 ? 만약 혼동운동으로 판별된다면, 즉 그 신호가 배후에 숨어 있는 기이한 끌개(strange attractor)로부터 나오는 것이라면, 그 시계열 정보로부터 발산지수와 프랙탈차원 등을 계산하여 끌개를 정량적으로 특성화할 수 있을 것인가?

놀랍게도 이 질문들에 대해 혼돈이론은 긍정적인 대답을 준다. 즉 부분적인 것으로 보이는 데이터로부터 전체 운동의 대부분에 대한 정보를 얻을 수 있는 것이다. 이는 궁극적으로 혼돈운동이 결정론적 법칙에 기인한 질서구조를 갖고 있기에 가능하다.

예를 들어 어떤 시간 간격 t마다 X값을 측정하여 얻은 시계열 데이터를 X(0), X(t), X(2t),… 등으로 표시하자. 전체 운동의 배후에 어떤 결정론적인 법칙이 있다면 어떤 시간에서의 X 값은 과거의 X 값들에 의존할 것이다. 얼마나 많은 X 값들에 의존할 것인지는 원래 계가 갖고 있는 변수의 개수, 즉 기이한 끌개가 들어 있는 공간의 차원값과 관계가 있다.

예를 들어 n개의 과거 X 값들에 의존한다고 하자. 그러면 X 시계열로부터 다음과 같은 n차원의 벡터열을 만들 수 있다. (X(t), X(t＋T), X(t＋2T), …, X(t＋(n－1)T)) 여기서 T는 t의 정수배인 시간 지연이며 의미있는 결과를 얻기 위해 주의깊게 선택되어야 한다. n 값이 끌개의 원래 차원값보다 같거나 큰 범위에서 잘 선택되면 이 벡터열은 원래의 운동의 동일한 성질을 보이게 된다. 실제로 n 값이 끌개의 차원값의 약 두배 이상 크면 운동의 동일성이 보장된다는 수학적 정리가 증명되었다. 따라서 n과 T가 잘 선택되면 이 벡터열을 이용하여 원래의 끌개를 재구성하는 것이 가능하다.

이와같은 방법으로 재구성된 기이한 끌개는 물론 원래의 끌개와 정확히 같은 형태는 아니고, 일반적으로 변형된 형태를 갖는다. 하지만 발산지수와 프랙탈 차원은 이러한 변형에 대해 변하지 않기 때문에 재구성된 끌개로부터 이들 값을 계산해낼 수 있다.

끌개의 재구성은 비선형모델링, 잡음축소, 비선형예측 등 신호처리의 예비단계가 될 수 있다. 재구성된 끌개에 가장 적합한 운동방정식을 찾음으로써 불규칙한 신호에 대한 비선형모델링을 할 수 있다. 물론 끌개의 차원이 높아질수록 이 작업은 어려워지지만 선형모델의 효용성을 훨씬 능가하는 모델링이 될 수 있다.

비선형 모델은 곧 잡음축소와 비선형예측의 도구가 되며, 혼돈운동의 측도인 발산지수 프랙탈 차원 등은 모델링과 예측의 오차의 크기를 가늠하는데 사용될 수 있다. 여기서 혼돈운동에 대한 예측이란 혼돈의 결정론적 본성이 허용하는 한도내에서의 예측을 의미한다.

혼돈통신은 도청 불가능

혼돈운동은 초기조건에 매우 민감한 특성을 갖는다. 이 성질은 독립된 두 개의 혼돈진동자가 동기화될 수 없다는 결론을 내리게 한다. 즉 두개의 동일한 혼돈진동자가 있다고 하자. 두개의 진동자에 어떤 초기조건을 주어 각각을 구동시키면 두개의 진동은 처음에는 거의 동기화된 동일한 진동으로 보이겠지만, 곧 서로 상관없는 진동을 보이게 될 것이다. 이는 두개의 진동자가 갖는 초기조건이 무한히 정확하게 같을 수는 없기 때문이고, 혼돈운동이 이와같은 초기의 작은 변화를 지수함수적으로 빠른 속도로 증폭시켜 버리기 때문이다.

하지만 1989년 미국해군연구소의 페코라(Pecora) 등에 의해 두개의 동일한 계를 혼돈운동으로 동기화시킬 수 있는 방법이 고안되었다. 이 경우 두 계는 안정계라야 한다.안정계는 초기조건에 약간의 변화가 있어도 종국에는 같은 상태의 운동으로 귀착되는 성질을 갖고 있다. 따라서 혼돈운동으로 두개의 안정계를 동시에 구동시킬 때, 양쪽계의 상태가 약간 다르더라도 계의 안정성에 의해 같은 상태의 혼돈운동으로 동기화될 수 있게 된다. 이와 관련하여 혼돈운동은 주기적 운동의 동기화에도 매우 효율적이라는 연구결과도 나와 있다.

혼돈신호를 사용한 동기화 방법은 비선형 신호처리 및 통신분야에 새로운 기술을 제공했으며, 불규칙한 신호를 정확히 동기화시킬 수 있다는 착안은 많은 분야의 문제에 응용될 수 있다. 예를 들어 이 착안은 곧 보안을 요하는 통신방법으로 응용되었는데 간단히 살펴보면 다음과 같다.

송신자 갑은 혼돈신호를 사용해서 그가 갖고 있는 동기화 회로를 구동하고, 이로부터 얻은 혼돈신호를 사용하여 발송하고자 하는 내용을 변조시킨다. 그리고 수신자 을에게 변조된 신호와 함께 동기화 회로의 구동시 사용한 혼돈신호를 보낸다. 을은 갑이 사용한 것과 동일한 동기화 회로를 갖고 있으며, 이를 수신한 혼돈신호로 구동하여 동기화된 혼돈신호를 얻고, 다시 이를 사용해서 변조된 신호로부터 발송된 내용을 해독해낼 수 있다.

이 경우 발송된 신호가 도중에서 도청된다 할지라도, 도청자가 동일한 동기화 회로를 갖고 있지 않는 한, 두개의 상이한 혼돈신호로부터 잡음 외에는 아무런 정보도 얻을 수 없게 된다.

근본적으로 혼돈은 무한히 많은 불안정한 주기적 운동의 집합체로 간주될 수 있다. 즉 혼돈운동의 바로 이웃에는 불안정하기는 하지만 무한히 많은 규칙적인 주기적 운동이 숨어 있다. 1990년 미국 매릴랜드주립대학의 오트(Ott) 그레보기(Grebogi) 요크(Yorke)에 의해 제안된 방법은 바로 이러한 불안정한 주기운동을 안정화시킴으로써 혼돈운동을 원하는 규칙적인 주기운동으로 전환시키는 방법이다.

이 방법의 첫단계는 기이한 끌개의 푸앵카레 절단면을 얻는 것으로부터 시작한다. 그리고 절단면 상의 원하는 주기운동의 궤적 근처에 혼돈운동의 궤적이 가까이 왔을 때, 계의 매개변수를 약간 변화하여 주기운동의 궤적으로 옮겨가도록 한다. 불안정한 주기궤도는 주위의 궤도가 주기궤도에 대해 발산하는 방향과 수렴하는 방향을 동시에 갖고 있는데, 이는 마치 말안장 위의 불안정한 평형점과 같다.

위의 방법에서 매개변수의 변화는 바로 혼돈궤도를 주기궤도를 향해 수렴하는 위치에 옮겨놓는 것에 해당한다. 이 방법에서는 계의 운동방정식이 필요하지 않기 때문에 실험에 직접 이용될 수 있다는 장점이 있다. 실제로 이 방법을 사용하여 주기적으로 변하는 자기장에 의해 금속박막의 혼돈운동을 주기운동으로 전환시킬 수 있음이 보여졌다.
 

혼돈 제어의 장점들

혼돈제어는 여러가지 이점이 있다. 첫째는 제어가 매우 빠른 속도로 이루어질 수 있다는 것이다. 이는 혼돈운동이 초기조건에 매우 민감한 성질을 갖고 있기 때문이다. 또한 혼돈제어는 매우 다양하게 이루어질 수 있다. 이는 위에서 언급했듯이 혼돈운동의 주위에 무한히 많은 주기운동이 존재하기 때문이며, 원하는 어느 것으로도 제어하는 것이 가능하기 때문이다.

혼돈제어는 이미 레이저의 불안정성을 안정화시켜 레이저의 출력을 증대시키는데 이용되었다. 혼돈제어는 비선형 제어를 주로 공학분야의 많은 문제들에 직접적으로 응용될 수 있을 것으로 기대된다.

또 생체세계에의 응용도 활발히 연구되고 있는데, 토끼 심장의 불규칙한 박동을 전기자극을 가해 규칙적인 박동으로 전환시킬 수 있다는 것이 실험적으로 보여진 바 있다. 이는 혼돈제어가 심장마비 간질 정신분열 등 인체에서 나오는 불규칙한 신호와 관련있을 것으로 믿고 있는 많은 질병의 진단과 치료에도 기여할 수 있을 것이다.

혼돈운동은 불규칙적이고 임의적으로 보이며, 또한 초기조건에도 민감해서 매우 다루기 힘들어 보일 수 있다. 하지만 혼돈은 어떤 계에 대한 예측과 제어를 원하는 공학자들이 피해가야만 하는 대상은 아니다. 혼돈이론은 혼돈운동을 이해하고 그것을 규정짓는데 그치지 않고, 혼돈운동을 제어할 수 있는 방법도 제안한다. 혼돈제어는 최근 3－4년에 걸쳐 이론적 실험적으로 매우 활발한 연구가 진행되어 상당한 성공을 거두었고, 현재도 후속적인 연구가 활발히 진행되고 있는 분야다.

영상의 디지털화에도 기여

프랙탈은 무한히 작은 축적에 이르기까지 자기유사성을 갖는 비정수차원의 복잡한 기하학적 물체다. 프랙탈은 혼돈운동의 기하학적인 측면이라고도 할 수 있는데, 이는 혼돈운동이 위상공간에서 전형적으로 프랙탈 구조를 갖기 때문이다. 프랙탈은 IFS(Iterated Function System) 기법이라 불리는 방법으로 만들 수 있는 특이한 형태다. 이는 어떤 초기 형상에 몇가지의 선형변환 (affine linear transformation)을 무한히 반복하는 것으로, 사용된 초기형상과 무관하게 그 과정의 무한극한에서 얻어지는 것이 프랙탈이다.

이때 물론 변환의 종류와 조합을 다르게 하면 다른 프랙탈을 얻을 수 있다. 따라서 프랙탈은 그 공간직 구조의 복잡성에도 불구하고 간단한 몇개의 변환식으로 표현될 수 있다. 이 원리를 이용한 것이 바로 프랙탈 화상처리다. 일반적인 화상은 부분적으로 자기유사성을 보이는 곳을 많이 포함하고 있는 다중 프랙탈이라고 할 수 있다. 따라서 화상의 정보를, 화상의 해상도를 결정하는 최소 단위인 각 픽셀(pixel, 화소)들에 의해 저장하지 않고 프랙탈들로, 즉 변환식의 군으로 저장하는 것이 가능하다. 이와 같은 방식을 사용하면 화상압축률이 기존의 방법들보다 훨씬 높아지며, 화상을 복원하는 데도 많은 시간을 절감할 수 있다. 또한 프랙탈 복원시 생기는 계산적 복잡성을 해결하기 위한 혼돈게임과 같은 무작위적 처리방법 등이 고안되어 있다.

현대의 정보통신은 문자와 숫자, 그리고 음성의 디지털화에 이어 움직이는 영상의 디지털화를 꾀하고 있다. 하지만 영상은 디지털화했을 때 생기는 엄청난 데이터의 양과 느린 처리속도가 가장 중용한 문제점으로 대두된다. 프랙탈 화상처리는 이와 같은 화상 압축과 복원의 문제뿐만 아니라 화상인식, 전송 등의 인접한 문제들에도 응용이 가능할 것으로 기대된다.
 

건강진단에서 로봇제작까지

혼돈은 그 운동의 복잡성과 비예측성 때문에 제어하기 어려운 비정상적 상태로 간주되어, 그에 대한 응용의 가능성이 오랫동안 무시되어 왔다. 그러나 최근 물리학과 수학을 중심으로 혼돈에 대한 연구가 활발히 진행되어 혼돈운동의 규명뿐만 아니라 혼돈운동에 대한 제어의 가능성이 알려지면서, 여러 공학분야에서 혼돈운동의 장점들을 이용하려는 응용연구가 매우 활발히 진행되고 있다.

그 몇가지 예로 일본 소니연구소의 혼돈이론을 제어시스템에 응용한 6축로봇의 제작, 도시바 및 산요연구소의 현실적 자연화상을 압축하는 혼돈알고리즘의 개발, 기초과학연구소의 뇌의 정보처리를 이해하기 위한 혼돈 신경회로망 연구, 규슈공대, 도쿄전기대학, 상지대학팀의 혼돈칩 개발, 산요기업연구소의 선풍기용 혼돈칩 개발, 도시바연구소의 원자로 운전상태의 진단과 예측, 그리고 의학분야에 응용한 것으로 컴퓨터 컨비니언스의 건강진단용 소프트웨어개발 등을 들 수 있다.

일본뿐 아니라 미국의 많은 대학과 연구소, 기업 등에서도 혼돈이론의 응용으로써 신호처리 기술에 있어 매우 중요한 분야인 비선형 시스템인식 비선형예측 비선형제어 신호동기화 등이 활발히 연구되고 있다. 이를 주가 등의 경제지표 예측, 기상 및 지진 예측, 의료진단 통신암호화, 로봇의 제어, 레이저의 출력 향상, 화상압축 및 복원, 화상인식 및 영상처리 등의 다양한 분야에 응용하려는 연구가 병행되고 있다.

최근 국내에서도 혼돈이론을 이용한 세탁기, 탁상전등 등 몇몇 가전제품들이 선보이고 있지만 외국에 비해 양적 질적으로 초보적인 단계라고 할 수 있다. 하지만 현재 대학 연구소 기업들이 연계되어 화상처리 혼돈제어 혼돈신경망 등 다양한 응용연구가 활발히 진행되고 있어 곧 혼돈이론을 이용한 가전제품들이 쏟아져 나올 전망이다.

*리아푸노프 지수
단위 시간당 초기조건의 차이가 얼마나 증폭되느냐를 지수함수적으로 나타낸 양