쿠르트 괴델의 불완전성 정리는 모든 수학 체계에 참이면서 증명할 수 없는 문장이 존재함을 보였으며, 이는 힐베르트 프로그램을 반박했다. 괴델 수를 통해 문장을 수학 언어로 번역하였고, 이로 인해 체계가 모순 없음을 스스로 증명할 수 없음을 밝혔다.

페르마의 마지막 정리는 17세기에 제시되어 1994년 앤드루 와일스에 의해 증명되었으나, 수학 체계의 모순 가능성으로 반례가 존재할 수 있음이 제기되었다. 모순적인 체계에서 모든 명제가 증명 가능해지는 '폭발 원리' 때문에 단 하나의 모순도 허용되지 않으며, 과거 러셀의...

수학은 크세논의 파라독스 등 고대 그리스에서 시작된 모순 속에서 발전했다. 칸토르의 집합론이 무한에 대한 이해를 높였으나 러셀의 파라독스로 모순을 노출시켰고, 힐벨트의 프로그램은 실패했다. 괴델의 불완전성 정리는 수학이론이 완전할 수 없음을 보였다.