고대 바퀴는 □을 재던 도구였다!

자~! 첫 번째 문제입니다. 네모 안에 들어갈 알맞은 말은 무엇일까요? 상상력을 발휘해 자유롭게 떠올려 보세요. 생각보다 어려운 문제인가요? 여기저기서 오답이 속출하는군요! 발자국? 담벼락? 고인돌이라고요? 모두 ‘땡!’입니다. 도대체 고대 사람들은 바퀴로 무엇을 잰 걸까요?

고대 바빌로니아 시대부터 바퀴는 원 모양이었어요. 그 당시 바퀴는 주로 무거운 짐을 손쉽게 옮기기 위해 사용됐습니다. 그렇다면 사람들은 바퀴를 우연히 원 모양으로 만든 걸까요? 결코 그렇지 않습니다! 원은 바퀴가 가져야 할 효율성과 안정성을 가장 만족하는 도형이거든요. 바퀴는 일정한 힘을 가하면 굴릴 수 있고(효율성), 무엇이든 덜컹거리지 않고 안전하게 운반(안정성)해야 합니다. 그러려면 바퀴의 중심은 바퀴가 구르더라도 땅에서 일정한 높이를 유지해야 하는데, 바로 여기서 원이 가진 특별한 성질이 필요하죠.

첫째, 원은 ‘평면 위에 고정된 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임’입니다. 따라서 원의 반지름은 늘 같아요. 그렇기 때문에 바퀴의 중심과 땅 사이의 거리가 항상 일정하도록 유지할 수 있어요. 바퀴가 반지름이 일정한 원 모양이기 때문에 무엇이든 덜컹거리지 않고 안전하게 운반할 수 있는 셈이죠.

둘째, 원은 크기에 상관없이 하나의 비율로 그려집니다. 여기서 잠깐! 오늘의 정답은 원 둘레를 지름으로 나눈 일정한 비율, ‘원주율’입니다!

고대 이집트 사람들은 주기적으로 발생하는 나일 강의 홍수 덕분에 기하학 공부를 열심히 해야 했어요. 홍수로 인해 각자 소유한 땅의 경계선이 자주 없어졌거든요. 그래서 이집트 사람들에게 ‘넓이 구하는 일’은 매우 중요했답니다.

그 시절 땅 모양이 지금처럼 네모반듯한 모양이었을까요? 아닙니다. 울퉁불퉁하기도 하고, 한쪽 끝이 둥글기도 했지요. 그래서 그들은 다양한 도형의 넓이뿐만 아니라 둥근 도형 즉, 원의 넓이도 구해야 했어요. 이 때문에 넓이를 구하려면 원주율이 반드시 필요하다는 사실을 자연스럽게 깨달을 수 있었죠.

이집트 사람들은 원의 넓이를 구하려면 반드시 필요한 원주율을 구하기 위해 바퀴를 사용했습니다. 특별히 제작한 원통 모양의 계측바퀴를 굴린 다음, 바퀴의 회전수를 헤아려 원주율을 계산했어요. 이 때 지름이 1m인 바퀴를 한 바퀴 굴린 길이를 원주율이라고 정했죠. 그 때 계산했던 원주율은 약 3.1605입니다. 우리가 알고 있는 값과는 조금 다르죠? 당시 계산했던 결과는 대부분 근삿값이니까요.

바퀴 속 작은 원은 무한히 □한다!

후~. 첫 번째 문제부터 만만치 않군요. 바로 다음 문제 만나 보죠. 바퀴는 오래 전부터 수학자들의 사랑을 한몸에 받았습니다. 이번 문제 역시, 수학자들의 연구 결과에서 확인할 수 있는 문제라고 하는데요. 대체 바퀴가 구르지 않고 뭘 하는 걸까요?

이탈리아의 수학자 갈릴레오 갈릴레이는 자신의 저서 <;두 가지 새로운 과학>;에서 바퀴에 관한 재미난 문제 하나를 소개합니다. 조금 수상한 바퀴가 있다면서 말이죠. 이 문제를 자세히 소개하려면 실험맨들의 간단한 도움이 필요합니다. 실험맨들 나와 주세요!

이 문제는 갈릴레이가 활동했던 시대인 17세기 이전에 고대 그리스의 수학자 아리스토텔레스가 설명한 기록이 남아 있어 때때로 ‘아리스토텔레스의 바퀴’라고도 불립니다. 수학자들이 좋아하는 역설 중 하나로, 착각을 일으키는 논리지요.

수상한 바퀴 문제에서는 생각을 조금 달리하면 재미난 사실을 발견할 수 있습니다. 정답을 향해 한 걸음 더 나아가 볼까요?

아리스토텔레스의 바퀴

앞에서 살펴본 수상한 바퀴를 정팔각형 모양으로 바꿔 굴려 보면, 정답과 가까워질 수 있다.

큰 정팔각형의 한 변의 길이를 1, 작은 정팔각형은 0.5라 하자. 이를 바퀴처럼 동시에 한 바퀴를 굴리고 나면, 큰 정팔각형의 꼭짓점 A는 점 A´ 자리에 도착한다. 둘 사이의 거리는 정팔각형의 둘레인 8(=1×8)이다. 작은 정팔각형은 어떨까? 작은 정팔각형의 둘레는 4(=0.5×8)이므로, 이동거리도 4가 돼야 한다. 그런데 B와 B´의 사이 역시 거리가 8이다. 왜 이럴까?

큰 정팔각형은 바닥에서 미끄러지듯 구르면서, 모든 변이 바닥을 지나간다. 그런데 바닥에 닿을 수 없는 작은 정팔각형은 큰 정팔각형이 구를 동안, 자기 자리를 잡기 위해 자신의 위치를 건너뛰고 있다. 다시 말해 화살표로 표시한 것처럼 ‘건너뛰는 부분’이 생긴다. 정팔각형은 8번, …, 정n각형은 모두 n번 점프를 한다.

그렇습니다. 이번 문제의 정답은 ‘바퀴 속 작은 원은 무한히 점프한다’였습니다. 정다각형의 변의 수를 무한히 늘려 원에 가까운 도형이 되면 무한 개의 건너뛰는 구간이 생기기때문이죠. 특별히 수상한 바퀴여서가 아니라, 여러분의 인라인스케이트와 자전거, 부모님의 자동차 바퀴에서도 발견할 수 있는 놀라운 사실이란 말씀!

□바퀴도 있다!

열기로 가득 찬 이 분위기, 점점 흥미진진해지고 있습니다. 이번 문제는 쉬어가는 코너인 것 같네요. 난이도 하, 별 한 개짜리 문제입니다! □안에 들어갈 알맞은 정답은 무엇일까요? 아…, 의외로 정답자가 나오지 않고 있어요. 여러분의 고정관념부터 버리세요!

바퀴가 반드시 원 모양이어야 할까요? 함께 상상해 봅시다. 평평하게 뻥 뚫린 도로에서 삼각형 또는 사각형 바퀴를 단 자동차가, 둥근 바퀴를 단 자동차보다 빠른 속도를 낼 수 있을까요? 절대 그럴 리는 없습니다. 평평한 도로에서는 둥근 바퀴가 최고죠. 삼각형 또는 사각형 바퀴는 바퀴의 중심과 땅 사이의 거리가 들쭉날쭉해 덜컹거려서 빨리 달릴 수 없으니까요. 물론 바퀴를 굴리는 데 힘도 더 들고요.

그렇다면 포장도로가 아닌 울퉁불퉁한 시골길에서는 어떨까요? 이 때는 원 모양의 바퀴도 덜컹거립니다. 바퀴 중심은 그대로지만 땅의 높이가 바뀌기 때문이죠. 그렇다면 울퉁불퉁한 도로에서는 네모난 바퀴가 더 알맞은 건 아닐까요?

세모난 바퀴
➊ 정삼각형으로 바퀴를 만들려면, 먼저 바퀴의 중심을 알맞게 정해야 한다. 바퀴의 중심은 정삼각형의 각 꼭짓점에서 마주보는 변으로 내린 세 수선이 만나는 점으로 한다.
➋ 바퀴의 중심이 직선을 이루도록 기준선을 긋고, 바퀴를 천천히 한 바퀴 굴려 본다.
➌ 기준선과 평행하면서 삼각형의 꼭짓점이 가장 멀어지는 점을 찍어, 도로의 높이를 결정한다.
➍ 바퀴를 다시 한 바퀴 굴려, 각 꼭짓점이 볼록한 곳에 쏙 들어가도록 나머지 도로를 그린다.

이 도로를 둥근 바퀴로 달리면 바퀴의 중심이 위아래로 흔들려 주행이 불편하다. 이처럼 바퀴의모양에 따라 알맞은 맞춤형 도로는 따로 있다!

네모난 바퀴
➊ 정사각형 바퀴도 정삼각형 바퀴를 만드는 방법을 그대로 따르면 된다. 먼저 정사각형의 두 대각선이 만나는 점을 바퀴의 중심으로 정한다.
➋ 바퀴의 중심이 구르면서 나타나는 기준선이 직선을 유지하도록 중심의 위치를 정한 다음, 정사각형 바퀴를 굴려 길의 볼록한 정도를 정한다.

같은 원리를 이용하면, 모든 정다각형을 바퀴로 제작할 수 있습니다. 각 도형의 중심을 찾는 일이야 식은 죽 먹기고, 각 도형에 맞는 길도 충분히 설계할 수 있으니까요.

정다각형의 변의 개수가 늘어나면 볼록한 부분도 더 자주 나타납니다. 대신 변의 개수가 늘어날수록 볼록한 정도는 점점 낮아지게 돼요. 정다각형 변의 개수가 늘어날수록 중심에서 각 변과 꼭짓점의 거리의 차가 줄어들기 때문이죠.

만약 정다각형의 변의 개수가 늘어나 점점 원을 닮아간다면 어떨까요? 정다각형이 원을 닮아가는 만큼 볼록한 곡선도 직선을 닮아갑니다.

이제 평평한 도로에서 왜 둥근 바퀴가 최강자인지 알겠죠?

수학자들이 사랑한 □도로

이번 문제는 평소 수학에 관심이 많은 분들이라면, 누구나 정답을 맞힐 수 있습니다. 도깨비 도로? 자전거 도로? 아닙니다. 힌트는 수학입니다. 수학자들이 많이 사랑했던 도로거든요. 심지어 이 도로를 때에 따라 자유롭게 그릴 수 있는 방정식까지 개발했다고 하니, 그들이 얼마나 이 도로를 사랑했는지 짐작이 돼죠?

앞에서 살펴본 것처럼 원 아닌 다각형 모양의 바퀴는 바퀴의 중심을 잘 잡는 것도 중요하지만, 바퀴의 모양에 따라 알맞은 도로를 설계하는 것도 매우 중요한 일이죠.

다각형 바퀴가 잘 달릴 수 있는 이 볼록한 도로를 수학에서는 ‘현수선 도로’라고 부릅니다. ‘현수선’이라는 특별한 곡선을 따라 그려지기 때문이죠. 수학자들은 꽤 오래 전부터 호빵을 뒤집어 놓은 듯한 이 곡선에 커다란 관심을 갖기 시작했습니다.

현수선을 본격적으로 세상에 이야기 한 사람은 이탈리아의 수학자 갈릴레오 갈릴레이였어요. 갈릴레이는 중력을 받는 사슬 모양인 현수선이 y²=Ax와 같은 포물선의 방정식을 따른다고 주장했지만, 머지않아 독일의 수학자 요아힘 융기우스가 갈릴레이의 주장이 틀렸음을 증명했지요. 그 이후 스위스의 수학자 요한 베르누이와 독일의 수학자 고트프리트 라이프니츠, 네덜란드의 수학자 크리스티안 하위헌스 등 여러 수학자들의 손을 거쳐 현수선 방정식이 밝혀집니다.

□없는 타이어가 있다?!

바퀴? 타이어? 두 단어를 정확히 구별해서 사용하고 계신가요? 바퀴는 ‘돌리거나 굴리려고 테두리를 따라 둥글게 만든 물건’이며, 타이어는 ‘자동차나 자전거 등의 바퀴에 끼우는 테두리’입니다. 최근 ‘□’ 없는 타이어가 개발돼 큰 화제라고 하는데요, 주로 군용 차량의 바퀴로 쓰일 예정인 이 타이어에는 뭐가 없는 걸까요?

초기의 바퀴는 돌 또는 통나무를 잘라 그대로 사용했습니다. 물론 타이어는 신경 쓸 겨를도 없었지요. 하지만 사람들은 서서히 이 바퀴에 불편을 느낍니다. 지금이야 대부분 도로가 잘 포장돼 있지만, 아주 오래 전에는 울퉁불퉁한 길 뿐이었을 테니까요. 나무 바퀴가 계속해서 험한 도로만 달리니, 나무가 쉽게 갈라지고 바퀴의 표면이 닳았겠죠. 사람들은 자연스럽게 바퀴를 감싸 줄 ‘타이어’가 필요하다는 사실을 깨닫게 됩니다.

기원전 2000년경 사람들은 동물의 가죽으로 만든 타이어를 사용하기 시작했습니다. 나무 바퀴가 빠르게 닳는 시간을 조금이나마 늦추기 위해서였죠. 그로부터 500년 뒤, 사람들은 동물의 가죽보다 더욱 단단한 구리로 만든 타이어를 사용하게 됩니다. 구리 타이어는 좀 더 단단한 쇠 타이어로, 이후 통고무 타이어로 발전하게 되지요. 요즘 어디서나 흔히 볼 수 있는 타이어는 주로 고무로 만든 타이어입니다. 고무 안쪽에 압축공기를 채워 바퀴가 땅을 구를 때 받는 충격을 흡수하도록 설계됐죠. 공기타이어는 자전거, 자동차, 항공기의 바퀴 등에서 널리 쓰이고 있어 이제 공기 없는 타이어는 상상할 수도 없죠.

그런데 놀랍게도 이번 문제의 정답은 ‘공기 없는 타이어도 있다?!’입니다. 잘못 안 게 아니냐고요? 이 연구는 결코 바퀴의 역사를 거스르는 연구가 아닙니다. 이 타이어는 특정한 사람들의 안전을 위해 수학으로 설계한 의미있는 타이어거든요.

공기 타이어를 쓰면 도로 사정에 따라 때론 위험한 순간을 맞이할 수도 있습니다. 만약 도로 위에 놓인 뾰족한 이물질을 미처 발견하지 못하고 무심코 지나친다면, 타이어가 터져 큰 사고가 날 수 있겠죠.

그래서 수학자들과 과학자들은 주로 거친 땅을 달리는 군용 차량에 알맞은 공기 없는 타이어를 연구하기 시작했습니다. 2005년 프랑스의 타이어 회사인 미쉐린에서 먼저 공기 없는 타이어를 선보였지만 충격 흡수가 미흡해 일반화 될 수 없었어요. 그런데 지난해 12월, 미국 위스콘신 주에 있는 레질리언트 테크놀로지사가 4년의 연구 끝에 위스콘신 주립대 폴리머 공학센터의 도움을 받아 공기 없는 타이어를 개발했습니다.

연구팀은 후보가 됐던 여러 구조 중 수학자들이 연구한 결과인 육각형 구조가 충격을 가장 많이 흡수한다는 점을 이용해, 공기를 대신한 타이어를 완성시켰습니다. 이번에 개발된 타이어는 공기 대신 육각형 모양의 특수 플라스틱이 공간을 채우고 있습니다. 벌집 모양의 구조는 충격을 흡수할 뿐만 아니라 소음과 발열을 크게 줄이는 역할을 하거든요.

타이어 무늬는 대부분 □이다

수학자들은 참 많은 분야의 연구를 진행하네요. 정말 놀랍습니다. 드디어 이번 시간의 지막 문제입니다~! 이번 문제는 타이어의 무늬에 관한 이야기입니다. 무늬에 관한 학적인 연구가 한창이라고 하는데요, 우리가 몰랐던 또 다른 어떤 비밀이 담겨 있을까요?

평소 생활 속에서 자동차든 자전거든 타이어 무늬를 자세히 관찰할 일은 거의 없습니다. 그런데 타이어 무늬에도 쓰임새에 따른 규칙과 특징이 있다고 합니다.

타이어가 바닥과 맞닿는 부분을 ‘트레드’라고 합니다. 타이어는 기본적으로 바닥과 맞닿을 때 미끄러지지 않기 위해서 홈을 파죠. 그런데 이 홈을 파는 방법에 따라 타이어를 분류할 수 있습니다.

타이어 무늬로 알아보는 타이어의 종류

➊ 바퀴의 둘레를 따라 바퀴의 진행방향으로 홈이 파져 있다. 이 타이어는 직진 주행에 유리하고 회전 저항이 큰 편이다. 또한 바닥과의 마찰 소음을 줄여 준다.
➋ 바퀴의 진행방향에 직각(90˚)으로 홈이 파져 있다. 이 타이어는 거친 도로에서 주행할 때 바퀴가 바닥을 밀어내는 힘을 최대로 발휘한다. 주로 고속으로 운행하지 않는 산업용 차량에 사용된다.
➌ ➊번과 ➋번 유형이 적절히 섞인 타이어다. 성능 역시 ➊번과 ➋번 타이어의 중간 정도다.
➍ 벽돌 무늬가 서로 엇갈려 직각(90˚)을 이루고 있어, 미끄러운 바닥을 만났을 때 저항력이 크다.

어때요? 타이어 무늬도 자세히 보니 새롭죠? 아마 눈치 빠른 독자라면 정답을 눈치 챘을 거예요. 마지막 문제 정답은 바로 ‘타이어 무늬는 대부분 비대칭이다’입니다.

❶~❹번 타이어 무늬도 데칼코마니처럼 절반을 접었다 펴서 완벽히 일치하는 대칭이 아닙니다. 그런데 아예 오른쪽과 왼쪽의 무늬가 전혀 다르게 설계된 비대칭 타이어가 있어요. ❺번 패턴처럼 말이에요. 타이어의 이유 있는 반란, 지금부터 자세히 알아볼까요?

타이어 무늬가 비대칭인 이유

➊ 타이어에는 젖은 바닥을 지날 때, 물을 빠르게 밖으로 흘려보낼 수 있도록 홈이 파져 있다. 홈이 확한 위치에 설계되지 않으면 운전하는 방향과 다르게 차가 움직일 수 있어 아주 위험하다. 타이어를 개발하는 연구팀은 주로 수학모델을 이용해 홈을 파기 적합한 위치와 홈의 두께를 결정한다. 안쪽 홈이 가장 넓게 설계 된 것은 그 부분이 배수가 더 잘 돼야 하기 때문이다.
➋ 타이어 중간 중간에 작은 홈을 파놓아 타이어 안쪽에 물이 더욱 잘 빠져 나가도록 돕는다.
➌ 타이어의 바깥쪽은 자동차가 회전할 때, 자동차가 많이 흔들리지 않고 회전할 수 있도록 하는 역할을 한다. 그렇기 때문에 타이어의 가로 무늬를 크게 디자인해 타이어의 마찰력을 증가시킨다. 이 역시도 무늬 크기에 따른 마찰력의 정도를 수학적으로 계산해 가장 적절한 크기로 디자인한다.
➍ 자동차가 코너를 돌 때, 타이어에 많은 무리가 가지 않도록 파 놓은 작은 홈이다. 이는 젖은 바닥을 지날 때 더 큰 성능을 발휘한다.

오늘 <;스펀지 Math>; 어떠셨나요? 인류 문명이 형성되기 시작한 고대부터 지금까지 우리 곁에서 두 발이 되어 준 바퀴의 새로운 모습을 발견했나요? 늘 둥글다고만 생각했던 바퀴 속에서 찾은 놀라운 지식이 빛나는 시간이었길 바랍니다.

오늘은 특별히 물폭탄 벌칙 대신에, ‘□문제’에 별 점수를 매기는 분에게 선물을 드리도록 하겠습니다. 이제 운명은 여러분의 손에 달렸습니다.

“빛나라 수학의 별!”