수학통조림 '소수 맛'이 새로 나왔어요! 소수 탄생의 역사, 초등 교과과정의 소수, 중·고등학교에서 소수 개념의 확장, 실생활에서 활용을 원재료로 맛있게 가공했습니다. 영양 성분도 고단백인 걸 보니 여러분의 수학 기초가 튼튼해질 것 같은 예감이 듭니다. 소수의 참맛을 기대하며 통조림 뚜껑을 따 봅시다~!

새로운 수, 태어나다!

콜럼버스가 아메리카 대륙을 발견한 1492년. 이탈리아 수학자 펠로스는 '산술적요'라는 책에서 처음으로 콤마를 소수점으로 사용했다. 이 소수점은 일의 자리와 그보다 작은 자릿수 사이에 놓여 자릿값을 구분했다. 이 때, 소수점 대신 새로선(|)을 쓰는 등 여러 가지 표기가 뒤섞여 사용됐다. 하지만 60진법을 따르는 수 체계에서 소수점을 찍는다는 펠로스의 아이디어는 널리 쓰이지 않았다.

점을 찍어 소수를 나타내는 아이디어는 스코틀랜드의 수학자 네이피어 덕분에 널리 퍼졌다. 네이피어는 1619년 '로그체계의 작성'이라는 책에서 자연수 자리와 소수 자리를 구분할 때 마침표나 쉼표를 사용하하는 아이디어를 냈다. 그 후, 영국에서는 공식적으로 마침표를 소수점으로 썼다. 이 방법은 전 세계에 널리 퍼져 오늘날 우리나라를 비롯한 거의 모든 나라가 마침표를 소수점으로 쓰고 있다. 그러나 독일이나 프랑스 등에서는 여전히 마침표가 아닌 쉼표를 쓴다.

소수 비교를 원해?

47264의 마지막 자리에 0을 붙여 472640을 만들면 자연스럽게 모든 자리 수가 왼쪽으로 밀리면서 처음 쓴 수의 10배가 된다. 자연수는 숫자가 쓰인 위치에 따라 값이 정해지고, 같은 숫자라도 위치에 따라 값이 달라진다.이런 원리를 '위치적 기수법의 원리'라고 한다. 0부터 9까지 딱 열 개의 숫자로 세상의 모든 수를 표현할 수 있는 것도, 쉽게 크기 비교도 할 수 있는 것도 이 원리 덕분이다. 소수도 기수법의 원리를 따른다.

"소수도 자연수처럼 10진법을 사용해야 합니다"

이를 공식적으로 주장한 사람은 프랑스 수학자 비에트다. 비에트는 1579년에 60진 소수 체계 대신에 10진 소수 체계를 도입하자고 제안했다. 그는 변호사이자 정치가면서 심심풀이로 수학도 연구해 대수학, 기하학, 삼각법 등 수학의 여러 분야에서 많은 업적을 남겼다.

소수 왜 태어났니?

자연수와 분수 개념에 배해 소수의 역사는 짧다. 자연수와 분수는 생활 속에서 자연스럽게 생겨나고 발달했지만, 소수는 수학자의 필요에 의해 만든 수다.

존재이유① 경제성
하나의 단위에 여러 가지 크기를 나타낼 수 있어서!

오로지 자연수만 사용하던 때가 있었다. 자연수만 있어도 양을 표현하는 데 무리가 없었기 때문이다. 가령 우리나라에 '되로 주고 말로 받는다'는 속담이 있다. 쉽게 말하면, 한대 때리고 열 대를 맞는다는 뜻이다. '말'과 '되'는 둘 다 부피 단위인데, '되'는 1.8L짜리 페트병에 들어가는 양이고 '말'은 그 열 배다. 사람들의 한 말의 절반만큼의 물의 양을 표현 하기 위해 '말'보다 더 작은 단위인 '되'를 만들어 썼다. 같은 방법으로 1보다 작은 수를 표한할 때, 작은 단위를 계속 새로 만들어서 사용했다.

첨단 과학기술이 발전한 요즘은 작은 단위의 부품을 조립해 로봇이나 기계를 만든다. 따라서 더 작은 세계를 표현하기 위한 수단이 필요하다. 예를 들어, 병원에서 사용하는 의료 기계나 우주에 보낼 로켓 등을 만들 때 수 없이 많은 단위를 사용한다. 그러나 필요할 때마다 단위를 새로 만든다면 너무 복잡할 것이다. 되도록 단위를 적게 사용하면서 아주 크거나 아주 작은 수까지 모두 나타낼 수 있어야 편리하다. 그래서 만든 수가 바로 소수다.

실생활에 꼭꼭 숨은 소수 찾아내기

일상에서는 분수보다 소수가 훨씬 많이 쓰인다. 통계 자료의 값은 거의 소수로 표현된다. 신문이나 교과서에서 통계 자료를 쉽게 찾아 볼 수 있는데 평균 기온, 기대 수명을 나타낼 때도 분수가 아닌 소수로 표현한다.

금리와 같은 경제 지수의 흐름, 운동 경기 기록, 성적표 등에도 소수가 쓰인다. 이런 자료에서 소수를 이용하는 이유는 무엇일까? 두 대상의 수치를 비교하기 위해 비례나 통계를 이용하는데 나눗셈이 쓰인다. 그 계산 결과는 딱 나누어 떨어지지 않기 때문에 자연수로 나타내기 힘들다. 분수로 나타내면 분모가 다를 때 크고 작음을 비교하기 어렵다. 이 때 소수를 쓰면 쉽게 비교할 수 있다.

교과서 제대로 읽기

교과서의 소수에 대한 설명은 매우 간략해서 내용이 쉽고 간단해 보인다. 혹시 그 속에 숨은 내용을 이해하지 못하고 넘어가지는 않았는지, 중요한 내용을 놓치지는 않았는지 교과서를 꼼꼼히 살펴보자.

'소수는 반드시 분수에서 나온다'고 오해할 수 있다. 그러나 분수와 소수는 다른 수다. 처음에 소수는 분수의 또 다른 표현으로 배우지만 분수로 나타낼 수 없는 수를 나타내는 더 넓은 개념의 수다.

초등학교 3-나 교과서, 84p

중학교 '근사값' 단원을 공부하면 결코 0.20과 0.2가 같지 않다는 사실을 알게 된다. 0.20은 소수점 아래 둘째 자리까지 정확하고 0.2는 소수점 아래 첫째 자리까지 정확하다. 설명에서 '같은 수'라는 표현은 크기가 같다는뜻이지 정확도가 같다는 뜻이 아니다. 위 두 수는 초등학교 과정에서는 같지만 중학교 과정에서는 '정확도'가 다르기 때문에 다른 수다.

초등하굑 4-나 교과서, 27p

소수 곱셈을 할 때, 소수를 분수로 고치지 않고 계산해도 된다. 즉 1.6×3을 1의 3배와 0.6의 3배를 더한 것으로계산한다. 바로 계산하면 다음과 같다.

1.6×3=1×3+0.6×3=3+1.8=4.8

초등학교 5-나 교과서, 9p

2.5÷0.5=25÷5 부분은 소수 나눗셈 과정의 핵심이다. 소수점을 똑같이 옮겨서 자연수로 만들어 계산하는 이유는 2.5와 0.5는 분모가 10인 분수로 고칠 수 있고, 분모가 같을 때, 나눗셈의 몫은 분자끼리의 나눗셈의 몫과 같기 때문이다. 분모, 분자에 같은 수를 곱해도 몫은 변하지 않기 때문에 소수점을 똑같이 옮겨서 바로 계산한다.

초등학교 6-나 교과서, 45p

'분수로 나타낼 수 있는 수'와 '분수의 꼴로 나타낼 수 있는 수'는 서로 구별된다. 0.75와 같은 소수는 '분수로 나타낼 수 있는 수'다. 분자 혹은 분모가 음수일 때는 분수라고 하지 않고 '분수의 꼴'로 나타낼 수 있는 수라고 한다. 유리수는 분수로 나타낼 수 있든지 분수의 골로 나타낼 수 있어야 한다.

중학교 1학년 대한교과서, 53p

초등학교 6학년 '분수와 소수' 단원과 곧바로 이어진다. 1÷2는 분수로 나타낼 수 있고, 소수로는 0.5와 같다. 또 1÷3을 소수로 나타내면 0.3333…이다. 0.5는 유한소수이고 0.333…은 무한소수며 순환소수다. 분수를 소수로 바꾸면 유한소수거나 무한소수다. 이 때, 무한소수는 반드시 일정한 숫자가 반복하는 순환소수다.

중학교 8-가 천재교육, 13p