코로나19가 기승을 부릴 때 모두가 두 손 모아 백신을 기다렸다. 백신은 어떤 질병에 대해 몸이 방어할 수 있도록 면역 체계를 준비시키는 의약품을 말한다. 마침내 다국적 제약 기업인 아스트라제네카가 처음으로 코로나19 백신 개발에 성공했고, 2020년 12월부터 전 세계 사람들이 차례로 백신을 접종했다.

하지만 백신의 효능은 연령대는 물론 국가나 인종별로도 다르고, 그 물량도 충분하지 않았다. 따라서 전염병의 확산을 막고 확진자 수와 사망자 수를 최소화하려면 누구에게 먼저 백신을 접종할지 정해야 한다. 심은하 숭실대학교 수학과 교수는 백신의 효능에 따라 누구에게 먼저 백신을 접종할지를 수학적으로 계산해 2020년 9월 일본 수리생물학회에서 발표했다.

심 교수는 ‘수학적 최적화’를 이용해 수학 모형을 개발하고 시뮬레이션했다. 백신의 효능에 따라 어떤 연령대에 먼저 백신을 접종해야 사망자 수와 확진자 수를 최소화할 수 있는지 연구한 것이다. 수학적 최적화란 문제 상황을 함수로 표현했을 때 함숫값이 최대 또는 최소가 되는 변수 조합을 찾는 것이다.

심 교수는 백신의 효능과 물량, 그리고 감염 가능 인구의 연령대를 변수로 정하고 각각의 값을 조절하며 확진자 수나 사망자 수가 가장 적게 나오는 상황을 찾았다. 예를 들어 백신의 효능은 97%, 70%, 50%인 경우 등으로 나누고, 백신의 물량은 인구의 10%에서 90%까지 접종할 수 있는 경우를 10% 간격으로 나눴다. 그리고 상황별로 백신 접종 연령대를 바꿔가면서 그때 발생할 수 있는 확진자 수와 사망자 수를 계산했다.

백신의 물량이 부족하면 사회 활동이 활발한 20~49세에 가장 먼저 백신을 접종해야 확진자 수를 최소화할 수 있는 것으로 계산됐다. 한편, 사망자 수를 최소화하려면 60대 이상 노령층에 먼저 백신을 접종해야 했다.

2020년 11월 WHO의 ‘백신 접종을 위한 전문가 자문 그룹(SAGE)’은 백신의 물량이 점점 늘어날 때 어떤 순서로 접종을 확대해야 하는지 제시했다. 백신의 물량에 맞춰 최대의 방역 효과를 내기 위해서다. 이 지침을 바탕으로 많은 나라가 코로나19 백신 접종 계획을 세웠다.

마스크를 써야 할까?

코로나19 때문에 한동안 마스크 착용이 우리의 일상이었다. 이러한 마스크 착용에 관한 흥미로운 연구 결과가 있다. 2020년 스웨덴 샬메르스공과대학교 연구팀은 코로나19 확산에 따른 개인의 선택을 ‘게임이론’으로 분석했다. 게임이론은 개인이 얻는 이득과 비용을 고려해서 어떤 의사 결정을 내리는지 분석하는 수학의 연구 분야다.

연구팀은 개인에게 방역 대책에 협력하거나 협력하지 않는 두 가지 선택지가 주어진다고 보고, 전염병 확산 상황에서 어떻게 협력을 끌어낼지 살펴봤다. 마스크 착용도 코로나19 확산을 막기 위한 일종의 협력이라 할 수 있다.

이들은 전염병이 퍼진 상황에서 개인의 선택을 살펴보기 위해 먼저 두 명의 행위자만 존재하고, 서로 전염병에 걸렸는지 아닌지 알 수 없는 상황을 가정했다. 두 사람에겐 각각 마스크 쓰기 등 전염병 확산을 막기 위한 ‘협력’과 아무 노력도 하지 않는 ‘배신’이라는 두 가지 선택지가 주어진다.

이때 둘은 선택지에 따른 이득과 비용을 모두 고려해 가장 큰 이익을 얻을 수 있는 선택을 한다. 마스크를 착용하면 전염병에 걸리지 않는다는 이득이 생긴다. 하지만 마스크를 매일 쓰는 것은 비용이 드는 일이다. 마스크를 구매하는 데 드는 비용과 마스크를 착용하는 불편함 등을 감수해야 한다. 서로의 생각을 공유할 수 없는 상황에서 두 사람은 각각 어떤 선택을 내릴까?

아래와 같이 게임이론으로 분석했을 때 수학적으로 상대방이 협력하든 배신하든 상관없이 배신하는 것이 이득이 크다. 하지만 다른 사람을 배려하는 마음을 갖고 다 같이 마스크를 쓰는 것이 전염병을 종식시키는 지름길이다.

둘 다 마스크를 쓰지 않는다.
행동 변화에 대한 이득과 비용이 모두 발생하지 않는다. 둘 다 마스크를 쓰지 않을 때 *내시 균형을 이룬다.

한 명이 마스크를 쓸 때 둘 다 마스크를 쓴다. 상대는 쓰지 않는다.
A는 마스크 착용으로 인한 불편함을 감수하지 않아도 B의 마스크 착용으로 전염병 예방 효과를 누린다.

둘 다 마스크를 쓴다.
둘 다 마스크를 쓰고 있어 전염병 예방 효과는 최대가 된다. 마스크 착용으로 든 비용을 빼 이득을 계산한다.

용어 설명

*내시 균형 : 상대의 행동을 고려해 최선의 선택을 할 때 서로가 자신의 선택을 바꾸지 않아 균형을 이루는 상태.