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노르웨이 수학자 악셀 투에의 연구를 기반으로 반복 없는 색칠 문제를 다루는 최근의 연구에 따르면, 평면 그래프에서 어느 곳에서 출발해도 각 위치를 한 번씩만 지나는 경로를 따라도 만나는 색의 패턴이 연달아 반복되지 않게 색칠하기 위한 색의 수는 최대 768개면 충분하다고

모든 자연수를 세 가지 색으로 칠할 때, 같은 색의 x, y, x+y를 항상 찾을 수 있다는 슈어 정리와 등차수열의 일정 길이를 같은 색으로 만드는 판데르바르던 정리를 소개하며, 이에 대한 연구가 진행 중임을 밝힌다. 단, 모든 경우에 유효한 것은 아니며, '라도의 정리'를