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쌍곡 평면은 일반적인 평면과 다르며, 쌍곡기하학에서는 직선 바깥의 점을 지나는 평행선이 무한하고, 정삼각형의 내각의 합은 180도 이하다. 가우스와 보여이야노시의 연구로 이러한 특성을 알게 됐으며, 쌍곡 평면의 타일링 예로 한 점에서 정육각형 타일 네 개가 만나는 것을

미해결 기하 문제인 평면 채색수 문제에서, 각 점을 다른 색으로 칠하는 데 필요한 최소 색의 수가 4 이상이며, 최대 7 이하임을 나타내는 연구들이 등장했고, 최근 4색으로 칠할 수 없는 점집합을 찾아 χ≥5임을 증명한 결과도 발표되었다.

일상생활에서 '평면적'이라는 부정적 의미와 달리, 수학에서는 평면이 다양한 성질과 가능성을 함유하고 있음. 유클리드부터 시작해 데카르트, 비유클리드 기하학, 클라인, 현대 물리학과 예술에 이르기까지 평면은 다채로운 매력을 보임. 최근에는 2차원 물질인 그래핀을 활용한 기술