다음으로는 무한한 사람들이 사는 전설의 섬에 대해 이야기하려고 해요. 전설처럼 내려오는‘무한도’이야기를 들어 봤나요? 이 이야기 속에는 4개의 무한퀴즈가 있어요. 수학동아 독자들도 함께 생각해 보세요. 인피니트의 엘, 호야, 성열 그리고 우현이 준비했어요!

무한히 많은 코코넛 나무를 주세요~!

‘무한도’ 이야기는 저 엘이 시작합니다. 태평양 남서부에는 에메랄드 빛 바다에 둘러싸인 섬이 있었어요. 백사장이 유난히 넓게 펼쳐진 이 섬에는 전설 같은 이야기가 있었어요. 이 섬에는 셀 수 없을 만큼 무한히 많은 사람들이 살고 있었거든요. 사람들은 이 섬을‘무한도’라고 불렀어요.

무한히 많은 사람들이 살게 되자 평화로웠던 섬에 문제가 생기기 시작했어요. 제일 먼저 생긴 문제는먹을거리 문제였어요. 무한히 많은 사람들은 이 섬에서 재배하기 좋은 코코넛 나무를 모두 한 그루씩갖고 싶어했어요. 사람들은 마음을 모아 신께 기도를 드리기로 했죠. 그런데 무한히 많은 사람들이 각각 한 그루씩 코코넛 나무를 가지려면 몇 그루의 나무를 달라고 말해야 하는지가 문제였어요. 사람들은 지혜를 모아 의견을 내기 시작했어요.

그때 어떤 사람이 이렇게 말했어요.

“머리카락의 수만큼 코코넛 나무를 달라고 기도하면 어떨까요? 머리카락의 수는 셀 수 없이 많으니까 그 정도면 될 것 같은데….”

또 다른 사람은 이렇게 말하기도했어요.

“머리카락의 수 갖고 될까요? 머리카락의 개수가 세기 힘들 만큼 많은 것은 사실이지만 평균적으로 사람의 머리카락의 수는 10만 개 정도라고 합니다. 10만 그루의 코코넛 나무로 무한히 많은 사람들에게 턱없이 부족하죠. 이 섬에 있는 모래알 개수라면 어떨까요? 모래알 개수만큼 코코넛 나무가 있다면 섬 사람들이 모두 한 그루씩 가질 수 있을 것 같아요.”

두 사람의 의견을 듣고 사람들은 모래알 개수만큼 코코넛 나무를 달라고 기도했지만, 신은 기도를 들어주지 않았어요. 그때 무한도에 사는 칸토어라는 지혜로운 현자가 이렇게 말했어요.

“○○○만큼 코코넛 나무를 달라고 하면 될 것 같아요. ○○○는 무한한 수니까요.”

$급수의 수렴^섬 전체의 땅의 $\frac{1}{2}$씩 계속 나누면 무한한 사람들이 모두 땅을 가질 수 있다. 이렇게 무한히 더해서 유한이 되는 것을 '급수의 수렴'이라고 한다.$

우리 모두에게 땅을 나눠 주세요~!

사람들은 코코넛 나무를 한 그루씩 가질 수 있게 됐어요. 그런데 시간이 얼마 지나지 않아서 사람들은 또 다른 문제로 모였어요. 코코넛 나무를 한 그루씩 심으려면 땅이 필요한데, 자신의 땅이 없기 때문에 코코넛 나무를 잘 관리할 수 없다는 얘기였어요. 사람들은 또 머리를 맞대고 방법을 찾으려고했어요.

어떤 사람은 이렇게 말했어요.“이 섬에는 무한히 많은 사람들이 살고 있는데, 아무리 땅을 작게 나눠도 그것이 가능할까요? 아무래도 모든 사람이 자기 땅을 갖는 일은 불가능할 것 같아요.” 또 어떤 사람은 이렇게 말했어요. “제 생각도 같아요. 아주 땅을 작게 나눠도 무한히 많이 모이면 그 땅의 넓이는 끝이 없을 만큼 넓어질 거예요. 다른 방법을 찾는 게 좋겠어요.”

하지만 이야기를 유심히 듣고 있던 칸토어는 순간 번쩍하고 생각이 떠올랐어요. 그리고 사람들 앞에서 말했어요.“제 생각은 조금 달라요. 모든 사람이 같은 넓이의 땅을 갖도록 나누는 것은 불가능한 일이지만, 나누는 땅의 넓이가 달라도 된다면 방법은 있어요. 무한도의 넓이를 반씩 나누면서 갖는 거예요. 섬 전체 넓이의 절반을 처음 사람이 갖고, 그 다음 사람은 남은 넓이의 절반을, 그리고 그 다음 사람은 또 남은 땅의 절반을 갖는 거죠. 이렇게 하면 모든 사람이 자기 땅을 가질 수 있어요.”

코코넛만 먹는 것은 지겨워

어느 덧 세 번째 퀴즈까지 왔네요. 저는 성열이에요. 무한도 사람들은 지혜로운 칸토어 덕에 모든 사람이 각자의 땅에서 한 그루의 코코넛 나무를 심을 수 있게 됐어요. 그런데 시간이 점점 지나자 사람들은 코코넛만 먹고 사는 것이 지겨워졌어요. 코코넛 나무 하나만 있으면 부족하지 않을 것 같다던 처음의 마음을 잊은 채 말이죠. 그리고 하나 둘 사람들이 모여 불만을 털어놓았어요.

“계속 코코넛만 먹고 살 수는 없을 것 같아요. 이 섬은 날씨가 따뜻해서 바나나와 멜론도 키우면 풍성하게 열매를 맺을 텐데…. 좋은 방법이 없을까요?” 또 다른 사람도 맞장구치며 말했어요. “맞아요! 더 이상 한 가지 과일만으로는 안 되겠어요. 또 다른 과일나무를 하나 더 심도록 해요. 그렇지만바나나와 멜론을 동시에 심을 수 없기 때문에 한 사람이 세 종류의 나무를 심을 수는 없어요. 우리 모두가 세 종류의 과일을 부족하지 않게 먹을 수는 없을까요?”

또 다른 과일나무를 심는 것은 큰 문제가 아니었지만, 한 사람이 세 그루의 나무를 심을 수 없다는 것이 문제였어요. 한 사람이 딱 두 그루의 나무만 심어서 모두가 코코넛, 바나나, 멜론을 먹을 방법을 찾아야 했어요. 사람들은 이번에도 칸토어가 문제를 해결해 주기를 기대하는 마음으로 그를 바라봤어요. 칸토어는 이렇게 말했어요.

“좋은 방법이 있어요! 모든 사람들에게 번호를 매겨 짝수와 홀수 두 모임으로 먼저 나눠요. 그런 다음 짝수 사람들은 바나나를, 홀수 사람들은 멜론을 심는 거예요. 짝수 사람들이 키운 바나나를 홀수 사람들에게 나눠 주고, 홀수 사람들이 키운 멜론은 짝수 사람에게 나눠 주면 모든 사람들이 두 그루의 나무만 심어도 세 가지 과일을 부족하지 않게 먹을 수 있어요. 이 모든 것은 우리 섬에 무한히 많은 사람이 살기 때문에 가능한 일이죠.”

코코넛만 먹는 것은 지겨워

섬에 도둑이 들었다?!

와~! 이제 끝으로 제 차례가 됐어요. 무한도 이야기의 마지막을 장식하게 된 저는 우현이에요. 이제 무한도 사람들은 부족하지 않게 세 종류의 과일을 먹을 수 있게 됐어요. 그런데 어느날 나쁜 소식이 들려 왔어요. 누군가 과일나무를 훔쳐간 거예요. 가장 넓은 땅을 가진 사람 집에 있던 과일나무가 모두 사라졌어요. 과일나무를 도둑맞아 절망에 빠진 사람은 다른 사람들에게 도움을 요청했어요.

“다시 과일나무를 키울 수 있는 방법이 없을까요? 과일나무가 없으면 어떻게 살라고….” 과일나무는 모두에게 딱 두 그루씩 있기 때문에 나눠 주는 일은 좀처럼 쉽지 않았어요. 그때 어김없이 현자 칸토어가 해결책을 제시했어요.

“전혀 문제 될 것이 없어요. 이 섬에는 무한히 많은 사람이 살고 있잖아요. 두 번째로 넓은 땅에 사는 사람이 첫 번째로 넓은 땅에 사는 사람에게 과일나무 두 그루를 주세요. 그리고 세 번째로 넓은 땅에 사는 사람은 두번째로 넓은 땅에 사는 사람에게 두 그루의 나무를 주고요. 모든 사람이 이렇게 나무를 주면 다시 모두가 두 그루의 나무를 가질 수 있어요. 이 방법이라면 100명의 사람이 나무를 도둑맞더라도 문제없어요. 아니, 무한히 많은 사람들이 도둑맞더라도 전혀 문제 될 것이 없어요. 우리 섬에는 무한히 많은 사람이 살고 있으니까요.”

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INTRO. 인피니트가 들려주는 무한도 이야기
PART 1 무한의 개척자, 칸토어
PART 2 무한한 사람들이 사는 섬이 있다?!