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불확실성을 좇는 확률게임

도박에서 보험까지

경주 안압지에서 출토된 주사위는 보통 우리가 보아 온 6면체가 아닌 14면으로 된 특이한 것이다. 통일신라 시대(7-9세기)의 유물인 이 주사위는 6개의 정사각면과 8개의 정삼각면을 가지고 있다. 주사위의 각면에는 임의청가(任意請歌, 임의대로 노래 청하기), 삼잔일거(三盞一去, 석 잔을 한 번에 보내기), 금성작무(禁聲作舞, 소리내지 않고 춤추기), 음진대소(飮盡大笑, 다 마시고 크게 웃기) 등 술자리 놀이와 관계된 모두 14개의 한자어구들이 음각돼 있다. 6면 주사위에 비해 훨씬 많은 경우들이 나타났으리라는 것은 쉽게 예측할 수 있다.

14면 주사위의 가치는 술자리 놀이에만 있는 것이 아니다. 확률세계로의 길잡이로도 훌륭하다. 정육면체 주사위의 경우는 던지거나 굴리거나 어떻게 하더라도 각 면의 확률은 너무 뻔하게도 이다. 왜냐하면 각 면이 기하학적으로 완전히 같기 때문이다. 그러나 14면 주사위에서는 정사각면과 정삼각면이 서로 맞물려 있다. 따라서 사각면과 삼각면이 땅에 닿을 확률은 서로 같다고 할 수 없다. 같지 않다면 무엇에 따라 달라지는 것일까.
 

(그림) 14면 주사위의 에너지 변화


4각면 확률이 높은 이유

확률을 개념적으로 분류하는 방식에는 여러 가지가 있는데 여기서는 논리적 확률과 통계적 확률로 구분하고자 한다. 논리적 확률은 몇 가지 전제로부터 수리적으로 연역된다. 이에 반해 통계적 확률은 자연 또는 실험상태에서 수집된 관측으로부터 산출된다. 이렇게 상반돼 보이는 두 확률이 어떻게 관련돼 있는지 알아보자.

우선 14면 주사위의 논리적 확률을 생각해 보자. 위로 던져진 14면 주사위가 떨어지면서 바닥에 닿는 순간을 보자. 이 때 주사위가 바닥에 접하는 즉시 그대로 달라붙을 만큼 바닥면이 끈끈하다고 가정하자.

이 때 바닥면과 정반대인 위쪽에는 동일한 형태의 면이 관측된다. 이런 경우에 삼각면이 땅에 닿을 확률은 그 삼각면에 의해 지탱되고 있는 외접구(球) 상의 삼각형의 표면적에 비례한다. 마찬가지로 사각면이 닿을 확률은 사각면에 의해 지탱되고 있는 구사각형의 표면적에 비례한다.

14면 주사위를 던졌을 때 삼각면이 땅에 닿을 확률은 외접구의 총 표면적에서 해당 구삼각형이 차지하고 있는 표면적이 된다. 이것을 구면기하학의 한 공식을 써서 구해보면 (3 cos-1( ) - π) / 4π = 0.0439이고 총 삼각면의 확률은 이것의 8배인 0.3510이 된다. 한편 총 사각면의 확률은 0.6490이다. 즉 14면 주사위를 던졌을 때 사각면이 바닥에 닿을 확률이 삼각면이 닿을 확률보다 훨씬 높음을 알 수 있다.
 

(표) 5백원짜리 복권의 기대값


굴리는 게 유리해

주사위의 운동을 주의깊게 살펴보면 바닥 면에 충돌한 주사위는 구른다는 것을 발견할 수 있다. 가끔 주사위로 놀이를 할 때면 주사위를 굴리는 사람들도 볼 수 있다. 주사위를 굴리는 것이 과연 어떤 이득을 가져다 줄까. 그냥 던질 때와 달리 확률이 어떻게 되길래 굴리는 것일까.
구르는 주사위가 겪게 되는 과정을 에너지로 설명해 보자. 주사위는 사각면을 바닥에 깔고 있을 때 가장 낮은 수준의 위치에너지 E1을 갖는다. 반면 그것을 약간 움직여 모서리를 바닥에 대고 올곧이 서있게 하기 위해서는 가장 큰 위치에너지 E2가 필요하다. 그러므로 그 차이인 E2-E1 만큼은 주사위가 구르면서 소모된다.

이제 모서리를 대고 있던 주사위가 삼각면 쪽으로 넘어가는 과정을 살펴보자. 완전히 넘어가 삼각면을 바닥에 대는 순간의 위치에너지를 E3라고 하면, 그 때의 주사위 높이는 사각면이 바닥이었을 때보다 높으므로 에너지는 E1 <; E3 <; E2 임을 알 수 있다. 그런데 이 때 주사위가 얻게 되는 위치에너지의 변화량은 주사위가 바닥면에 닿는 순간 충돌로 완전히 소실된다고 가정하자. 즉 그런 정도로 물렁물렁한 바닥면을 전제하자는 것이다. 그리고 주사위가 삼각면 바닥에서 다시 모서리에 서기 위해서는 E2-E3 만큼의 에너지를 소모해야 한다. 모서리에 선 주사위는 다시 사각면 쪽으로 넘어가게 되는데 이때도 역시 주사위가 획득하는 에너지는 바닥면 충돌 때 소멸되는 것으로 하자. 그러므로 굴려진 14면 주사위는 사각면, 모서리, 삼각면, 모서리, …의 과정을 겪으면서 E2-E1, E2-E3, …만큼씩 초기 에너지를 손실해가면서 이것이 0이 되는 순간 정지하게 될 것이다.

따라서 사각면과 삼각면의 출현확률은 E2-E1:E2-E3에 비례한다. 기하학적 방법을 동원해 계산하면 총 사각면의 확률은 0.7624, 총 삼각면의 확률로 0.2376이다. 따라서 주사위를 굴렸을 때가 주사위를 위로 던졌을 때에 비해 사각면이 나올 확률이 커진다는 것을 알 수 있다. 이런 것이 14면 주사위의 논리적 확률이다.

경험으로 얻어진 통계적 확률

그렇다면 통계적 확률은 무엇일까. 필자는 14면 주사위의 통계적 확률을 구하기 위해 수년 전 정확한 14면 주사위를 제작해(실제 14면 주사위에서는 삼각면이 더 깊게 파여 있다) 며칠 밤에 걸쳐 이불을 깔고 실험을 해봤다. 그 결과는 다음과 같았다. 주사위를 위로 1천번 던졌을 때 사각면이 6백57번 출현했다. 즉 총 사각면의 통계적 확률은 0.657이고 통계적 오차까지 허용하면 0.657 ± 0.030 (95% 신뢰수준에서)이다.

한편 주사위를 옆으로 굴렸을 때는 사각면이 2천회 시행에서 1천5백19번 출현했다. 즉 총 사각면의 통계적 확률은 0.760이고 통계적 오차까지 허용하면 0.760 ± 0.019 (95% 신뢰수준에서)이다. 그 결과를 논리적 확률과 비교해 보면 위로 던졌을 때는 통계적 확률이 약간 크게 나왔고 옆으로 던졌을 때는 비슷하게 나왔다. 위로 던져진 주사위의 경우가 이불에 착지한 후 실제로는 약간씩 구르기도 하기 때문으로 생각된다.

이렇듯 통계적 확률은 논리적 확률과 다를 수도 있고 거의 비슷할 수도 있다. 결과적으로 다르다면 논리적 사고의 틀(과학적 모형)이 현실과 부합하지 않음을 뜻한다. 반면 두 확률이 비슷하다면 논리적 사고의 틀이 현실과 부합하는 것을 뜻하므로 통계적 확률은 과학적 모형을 검증하는 역할을 한다. 이렇듯 논리적 확률과 통계적 확률은 각기 개념은 상이하지만 역할면에서는 서로 보완적이다.
 

1998년 04월 과학동아 정보

  • 허명회 교수

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