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화려한 색채로 묘한 매력을 뽐내는 작품이 사실은 다항식의 근을 그래프로 나타낸 결과라면 믿기십니까? 마치 거장의 추상 미술 같은 이 작품은 바흐만 카탄타리 미국 뉴저지주립대 교수가 개발한 그래프 그리는 방법으로 탄생한 다항식 그래프입니다. 대체 어떻게 다항식이 예술작품으로 변했는지 그 속내를 파헤쳐 봅시다.

뉴턴의 방법이 만든 예술 작품

이라는 다항식의 근은 어떻게 구할까요? 이차방정식도 머리가 아픈데 근의 공식도 쓸 수 없는
무려 48차식이라니! 5차식 이상의 방정식은 특별한 경우를 제외하고는 대부분 정확한 근을 구하기가 어렵습니다. 그래서 수학자들은 다항식 근의 근삿값을 구하는 방법을 고안했지요. 미적분학을 고안한 아이작 뉴턴도 그 중 한 사람입니다. 그가 고안한 방법을 ‘뉴턴의 방법’이라고 부릅니다.

바흐만 카탄타리 미국 뉴저지주립대 교수는 뉴턴의 방법을 써서 다항식의 근을 그래프로 나타내면 멋진 작품이 탄생한다는 걸 알아냈습니다. 이런 작품을 ‘폴리노미오그래프’라고 부르고, 이를 만드는 작업을 ‘폴리노미오그래피’라고 이름 붙였습니다. 다항식을 뜻하는 ‘Polynomial’과 그래프를 의미하는 Graph’를 합쳐 만든 이름입니다. 뉴턴의 방법은 다항식 근의 근삿값을 구하는 가장 일반적인 방법입니다. 구하고자 하는 다항식의 근을 초깃값 z0라고 가정하고, 이라는 식을 이용해 근에 가까운 점들 z1, z2, z3, z4, …를 차례로 찾아 어떤 수에 가까이 가는지 알아내는 것이지요.

그런데 초깃값을 잘못 잡으면 엉뚱한 값이 나옵니다. 따라서 정확한 근삿값을 구하기 위해서는 초깃값을 다양하게 잡아 계산한 뒤 그 중 같은 값으로 수렴하는 값을 다항식 근의 근삿값으로 정해야 하지요. 카탄타리 교수는 이렇게 같은 값으로 수렴하는 초깃값들을 같은 색으로 칠하면 멋진 이미지가 만들어진다는 것을 발견했습니다. 그리고 이를 구현할 수 있는 소프트웨어를 만든 것이지요.

카탄타리 교수가 개발한 프로그램은 조작법이 간단할뿐만 아니라 뉴턴의 방법을 몰라도 쉽게 그래프를 그릴 수가 있습니다. 물론 다항식의 성질을 알면 훨씬 더 멋진 작품을 만들 수가 있지요.

바흐만 카탄타리 인터뷰

“다항식의 재미, 폴리노미오그래피로 찾으세요!”

안녕하세요. 바흐만 카탄타리입니다. 저는 대학에서 수학을, 대학원에서 컴퓨터과학을 공부했습니다. 수학과 컴퓨터 프로그래밍을 모두 좋아하는 사람이지요.

중학교 때부터 배우는 다항방정식은 수학과 과학에서 매우 중요합니다. 많은 이론의 토대가 되고 많은 문제를 해결하는 열쇠가 되기 때문입니다. 그래서 오래 전부터 수학자와 과학자들은 방정식을 풀 방법에 대해 연구했습니다. 저도 뉴턴의 방법에 관심을 가지고 컴퓨터로 쉽게 다항식 근의 근삿값을 구할 수 있는 알고리즘 개발에 몰두했습니다. 그 과정에서 다항방정식을 시각화할 방법이 떠올랐고, 그 결과로 폴리노미오그래피를 개발할 수 있었습니다.

폴리노미오그래피의 매력은 딱딱한 다항식을 멋진 작품으로 표현해 많은 학생들에게 수학의 재미를 느끼게 해 줄 수 있다는 점입니다. 또 수준에 맞게 작품 활동을 할 수 있습니다. 중학생부터 대학원생까지 모두 폴리노미오그래피를 배울 수가 있지요. 이차방정식까지만 아는 중학생들은 이와 관련된 작품을 만들고, 복잡한 다항식을 풀 수 있는 박사 과정 학생들은 자신이 원하는 그림을 다항식을 이용해 나타냅니다.