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퐁당~! 물방울은 대칭을 만든다

사람의 눈으로 포착할 수 없는 1만 분의 1초의 순간, 물방울은 아름다운 대칭을 만들어 낸다. 마치 시간을 멈춰 놓은 듯한 이 사진들은 물방울이 떨어진 순간을 포착한 것이다. 물방울이 충돌하면서 받은 힘은 사방으로 균일하게 퍼져서 마치 왕관 모양 같은 파문을 만들어 낸다. 이같은 사진들을 ‘액체 조각’이라고 부른다.


찰나의 순간, 미지의 세계를 들여다보다!

재채기를 하는 순간, 우리 입에서 날아가는 이물질은 어떻게 움직일까? 또 전자레인지 안에서 눈송이 모양의 고소한 팝콘이 만들어지는 동안에는 어떤 일이 일어날까? 수학자들의 호기심은 이처럼 일상 생활에서 순식간에 일어나는 아주 작은 일까지 끝이 없다.

미국 메사추세츠공과대(MIT) 응용수학과 존 부시 교수 연구팀은 아주 작은 크기를 가진 물방울의 특성을 연구한다. 연구팀은 물방울과 표면이 만나 이루는 각도가 90° 이하일 때는 표면이 물을 흡수하지만, 접촉 각도가 90° 이상일 때는 표면이 물을 흡수하는 성질이 없다고 설명한다.

한편, 지난 2009년 미국 노스캐롤라이나대에서 열린 응용수학 워크숍에서는 ‘팝콘의 수학’이라는 재미있는 발표가 있었다. 팝콘을 조리하는 과정에 대해 여러 분야의 modenist cuisine 학자들이 연구한 수학적인 설명을 정리한 것으로, 그 내용은 다음과 같다. 정해진 환경 조건의 실험실에서 팝콘을 조리할 때, 터지지 않고 남아 있는 팝콘의 수(N)는 N=N₀e^-kt라는 식을 따른다. 즉, 시간이 지남에 따라 터지지 않고 남아 있는 팝콘이 기하급수적으로 줄어든다는 것이다.
 
자연이 만드는 경이적인 찰나

“마른 하늘에 웬 날벼락?”

맑은 하늘에서 번개가 내리치는 것은 일년에 몇번 보기 힘든 현상이다. 또한 땅속에서 갑자기 뜨거운 물이 터져 나오는 간헐천은 지구상의 몇몇 곳에서만 어쩌다 한 번 볼 수 있는 말 그대로 ‘간헐적인’ 현상이다. 이처럼 경이로운 자연 현상의 원리를 연구하는 과학자들도 수학을 활용한다.

수학자들은 점(0)과 선(1), 면(2), 그리고 입체(3) 등 정수 단위로 커져가는 차원 개념에 프랙탈 개념을 도입해서 소수점 단위로까지 세분화 했다. 이를 이용해 번개를 분석한 결과 번개의 프랙탈 차원은 약 1.7차원이었다.

간헐천을 연구하는 학자들은 간헐천의 분출 원리를 밝히기 위해 수학을 이용한다. 물과 수증기 같은 액체와, 열의 이동을 설명하는 수식을 조건에 맞게 변형하는 것이다.


인간이 만든 기술 속 찰나의 수학

사람이 만든 물체 중 가장 빠르게 움직이는 것을 꼽자면 전투기와 총알이 빠질 수 없다. 그런데 왜 전투기가 뚫고 지나가는 구름은 원뿔 모양일까?

사실 전투기는 구름을 뚫고 지나가는 것이 아니라, 날아가면서 순간적으로 원뿔 모양의 구름을 만든 것이다. 그 원리는 전투기 주위를 흐르는 공기의 압력 변화에 있다.

전투기가 음속에 가깝게 비행할 때는 날개 부분을 지나는 공기의 압력이 갑자기 낮아지면서 공기중의 수증기가 갑자기 액체로 변해 구름이 생긴다. 그런데 꼬리를 지난 공기는 다시 속도가 느려지고 압력이 높아지면서, 물방울이 다시 수증기로 변한다. 이런 과정을 겪으면서 원뿔형 구름이 만들어지는 것이다. 학자들은 이같은 현상을 속도와 압력을 변수로 하는 수식으로 설명한다.

한편, 쏜살같이 날아가는 총알이 전구나 비누 같은 가벼운 물체를 뚫고 지나가는 것은 충격량을 나타내는 수식으로 표현할 수 있다. 물리학자들은 물체가 받는 충격량(I)이 충격을 받는 힘과 시간에 비례한다(F×t)고 설명한다.

이 식에 따르면 충격량이 똑같다고 할 때, 총알처럼 빠르게 날아가는 물체에 부딪히면 어마어마한 힘을 받게 된다. 즉, 똑같은 세기의 충격을 주더라도 천천히 오랫동안 힘을 가한 것과 찰나의 순간 동안 힘을 가할 때 전구와 비누가 받는 힘의 세기가 다르다는 것이다.

이처럼 우리가 사는 세상은 찰나의 순간마저 수학으로 가득 차 있다.