D라이브러리

  수학자 지금까지 무한에 관한 수학 이야기를 했는데요. 교수님이 생각하시기에 우리는 진정 무한을 아는 걸까요? 인문학자 무한을 어떤 방식으로 정의하는지에 따라서 답이 다를 것 같아요. 저도 무한을 처음 배울 때는 잘 못 받아들였어요. ‘왜 이걸 알아야 하지?’라고 생각한 적도 있고요. ...

 ♥ 한 소년의 이야기 ♥    19세기 말 영국.한 11살 소년이 생각에 잠긴 채 창가에서 노을을 바라보고 있습니다.그날 소년은 형에게 ‘유클리드 기하학’을 배웠습니다. 소년의 형은 모든 기하학의 정리가 ‘공리’라고 불리는 5가지 전제로부터 나온다는 놀라운 사실을 가르쳐 주었습니다. 시범 ...

선택 공리는 여러 집합의 모임이 주어졌을 때, 각 집합에서 원소를 하나씩 선택할 수 있다는 거예요. 이는 자명해 보이지만 이 정의를 인정하는 순간, 수많은 기이한 결론이 도출됩니다. 한 가지 사례가 앞서 알아본 ‘바나흐-타르스키 정리’였어요. 오늘은 선택 공리가 제기하는 또 다른 수수께끼 ...

지금까지 논리주의 프로그램, 수학 체계의 무모순성, 그리고 증명 불가능한 문장 등 괴델의 불완전성 정리를 이해하기 위한 다양한 이야기를 했어요. 어떤 독자는 이런 이야기가 무슨 의미가 있는지 궁금할 텐데 앞서 설명한 괴델의 불완전성 정리는 21세기의 가장 놀라운 발명품인 ‘컴퓨터ʼ가 탄 ...

   Q. ‘힐베르트의 23가지 문제’가 지금까지도 많은 영향을 주고 있어요. 1900년 프랑스 파리에서 열린 제2회 세계수학자대회에서 강연을 해달라는 부탁을 받았어요. 그때 수학의 미래와 발전을 위해 수학계가 꼭 해결해야 할 23가지 문제를 정리해 발표했지요. 그중에는 훗날 자율주행차와 로봇 ...

 러셀의 역설이 발표되자 수학자들은 이 골칫거리를 제거하기 위해 수학 체계를 수정하고자 했습니다.그런데 수학 체계를 수정한다는 것이 정확히 무슨 의미일까요? ♥ 수학 = 언어 이론적인 측면에서 보면 수학은 고도로 정교한 언어와 크게 다르지 않습니다. 따라서 언어가 어떻게 작동하는지 ...

 독일의 수학자이자 논리학자인 고틀로프 프레게는 ‘집합’을 이용해서 자연수로부터 수학의 개념을 모두 확장할 수 있다는 ‘자연수 이론’을 증명하려고 했습니다. 그러나 프레게의 이런 생각은 영국 수학자 버트런드 러셀의 편지 한 장으로 무너졌어요.오늘은 편지 내용의 핵심인 ‘러셀의 ...

 1637년 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마가 제기한 ‘페르마의 마지막 정리’는 무려 358년이 지나 풀렸습니다. 이 증명은 가장 어려운 수학 문제로 기네스북에 등재돼 있으며, 20세기 수학계 최고의 성과로 꼽힙니다. 하지만 역설 나라에서는 페르마의 마지막 정리가 거짓일 수도 있다고 하는데요, ...

수학자들은 무한을 정의하기 위해 실수, 자연수와 같이 개수가 무한한 집합을 눈여겨보기 시작했소. 그러다 무한의 신기한 성질을 발견했지요. 20세기 최고의 수학자 다비트 힐베르트의 사고 실험으로 그 성질을 알려주겠소. 일명 ‘무한호텔’이오. 만약 호텔의 모든 객실에 손님이 있어 빈방이 ...