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아르키메데스는 어떻게 적분을 사용하지 않고 도형의 넓이를 구했을까? 주어진 도형을 넓이를 알고 있는 기본도형으로 세분해 넓이의 근사값을 구하고, 그 값을 극한으로 확장시키는 방법을 구분구적법이라 한다.
Q1
다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
(가) 함수는 수많은 수학자에 의해 다양한 방법으로 정의돼 왔다. 이 중 조지 토마스와 로스 피니의 정의가 있는데 다음과 같다. ‘함수는 집합 D의 각각의 원소들을 집합 C의 하나의 원소로 대응시키는 규칙이다.’ 여기서 집합 D를 ‘정의역’, 집합 C를 ‘공역’ 이라고 부른다. 특별한 언급이 없는 경우 수학에서 다루는 함수들은 정의역과 공역이 실수이다. 함수는 대응시키는 규칙이 같더라도 정의역과 공역이 바뀌면 다른 함수가 된다. 예를 들어 y=ax+b라는 함수의 정의역과 공역을 수열들의 집합으로 정의할 경우 등차수열은 또 다른 등차수열로 대응된다. 하지만 y=ax는 정의역과 공역을 수열의 집합으로 정의할 경우 등차수열이 등비수열로 대응된다. 같은 방식으로 y=ax2+bx+c같은 이차함수는 정의역이 등차수열의 원소인 경우 계차가 등차인 수열로 대응된다.
(나) 미분과 적분은 아이작 뉴턴과 고트프리드 라이프니츠에 의해 완성됐지만 핵심적인 아이디어는 고대 그리스의 수학자들이 만들었다. 제논이나 에우독소스를 포함해 많은 수학자가 미분과 적분의 기본 개념을 제시했지만 그 중에서도 가장 독보적인 인물은 아르키메데스였다. 그가 이차함수와 직선에 의해 생기는 도형의 면적을 적분을 사용하지 않고 구한 일은 놀라울 따름이다. 그림과 같이 A와 E에서 만나는 이차함수와 직선이 있을 때 AE의 중점에서 이차함수의 축과 평행하도록 직선을 그어서 이차함수와 만나는 점을 C라 한다. 이 직선과 AE가 만나는 점을 C´라 할 때 AC´의 중점과 C´E의 중점에서 축에 평행한 직선을 그어 이차함수와 만나는 점을 각각 B, D라 한다. 삼각형 ACE의 넓이는 삼각형 ABC와 삼각형 CDE의 넓이 합의 4배가 된다. 삼각형 ABC와 삼각형 CDE에서도 같은 방법으로 넓이 합이 각 삼각형의 4분의 1인 삼각형을 두 개씩 찾을 수 있고, 이를 무한히 반복하면 전체 삼각형의 넓이 합은 이차함수와 직선 사이의 면적과 같아진다. 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하고 식으로 표현하면 이차함수와 직선 사이의 면적은 S+S+S+ …가 된다.
(다) 반지름 길이가 r인 원의 넓이를 원에 내접하는 정다각형 넓이의 극한으로 구해보자. 반지름 길이가 r인 원에 내접하는 정n각형 넓이를 Sn, 원의 중심을 O, 정n각형에 인접한 두 꼭지점을 각각 A, B라 하면
이다.
여기서 hn은 O에서 AB까지의 거리를 뜻한다. 정n각형의 둘레를 ln이라 하면 n•AB=ln이므로 이것을 ㉠에 대입하면
Sn=1/2lnhn 이 된다.
여기서 n을 크게 하면 할수록 정n각형의 둘레 길이 ln은 원 둘레의 길이 2πr이고 △OAB의 높이 hn은 r이므로
이다. 즉 n→∞일 때 Sn은 원의 넓이라고 할 수 있다. 이와 같이 어떤 도형의 넓이 또는 부피를 구할 때 넓이 또는 부피를 이미 알고 있는 기본 도형으로 주어진 도형을 세분해 근사값을 구하고 그것의 극한값으로 주어진 도형의 넓이와 부피를 구하는 방법을 구분구적법이라고 한다.
1) 제시문 (가)에서 밑줄 친 부분과 같은 결과가 나오는 이유에 대해 서술하라.
2-1) 제시문 (나)에서 A, B, C, D, E의 y좌표와 A, B´, C´, D´, E의 y좌표가 어떤 수열을 이루는지 설명하라.
2-2) 선분 BF와 선분 B´ F의 길이 비를 구하라.
2-3) 제시문 (나)의 밑줄 친 부분과 같은 결과가 나오는 이유를 설명하라.
3) 제시문 (나)의 증명은 아르키메데스가 쓴 ‘포물선의 구적’(Quadrature of the Parabola)에 실려 있다. 다음은 이 책의 일부다.
<정리 23> 삼각형 면적들의 수열 A, B, C, D …, Z가 주어졌을 때 이 수열이 A가 가장 크고 수열의 각 항이 그 다음 항의 4배라면 다음 식이 성립한다.
A+B+C+D+…+Z+1/3Z=4/3A
아르키메데스는 B에서 Z까지 합에 B에서 Z까지 합의 3분의 1을 더해 앞 식을 만들었다. 이 과정을 구체적으로 서술하고 이를 이용해 S+1/4S+1/42S+…를 S에 관한 식으로 나타내라.
4-1) 제시문을 활용해 y=-2x2+4x와 y=x+1로 둘러싸인 부분의 넓이를 아르키메데스가 사용한 방법으로 구하고 이 방법이 구분구적법인지에 대해 서술하라.
4-2) y=-2x2+4x와 y=x+1로 둘러싸인 부분의 넓이를 적분을 이용해 구하고 앞의 결과와 비교하라.
전문가 클리닉
정적분과 부정적분은 계산방법은 유사하지만 정의는 다릅니다. 부정적분은 미분을 이용해 정의하고 정적분은 구분구적법을 이용해 정의합니다. 수능에 출제되는 계산문제 위주로 공부하다 보면 부정적분과 정적분의 차이를 이해하지 못하고 정적분은 부정적분을 한 뒤에 숫자만 대입하는 방식으로 이해하기 쉽습니다. 대학에서도 수능 위주 학습의 문제점을 알기 때문에 구분구적법은 논술에서 가장 많이 출제되는 문제입니다.
논제 1은 수열과 함수 사이의 관계를 묻는 문제입니다. 먼저 계차수열의 의미를 생각하고 그것을 어떻게 식으로 나타낼지 고민해야 합니다. 조건을 식으로 바꾸는 일은 수학문제를 해결하는 시작점입니다. 논제 2-1은 제시문과 논제 1의 결과를 활용하는 문제입니다. 각 점의 x좌표와 y좌표가 어떤 수열을 이루는지 생각하면 문제를 쉽게 풀 수 있습니다. 논제 2-2는 논제 2-1을 이용해 길이 비를 나타내면 구할 수 있습니다. 논술에서는 이처럼 앞의 문제를 이용해 다음 문제를 푸는 패턴이 자주 등장하므로 이런 흐름에 익숙해져야 합니다. 이 문제는 변수를 어떻게 사용하느냐가 문제의 난이도를 좌우합니다. 등차수열과 계차수열에서 어떤 값을 변수로 잡아야 문제를 쉽게 풀 수 있을지 고려합니다. 논제 2-3은 앞의 문제와 마찬가지로 논제 2-2의 결과를 이용해 풀 수 있습니다. 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱을 2로 나눈 값이기 때문에 높이가 동일하다면 삼각형 넓이의 비율은 밑변의 길이 비율과 같습니다. 삼각형을 적당히 분해한 뒤 밑변 길이의 비율을 이용하면 넓이 비율을 쉽게 구할 수 있습니다. 논제 3은 무한등비수열의 합을 아르키메데스가 사용한 방법을 이용해 구하는 문제입니다. 답을 구하는 일은 별로 어렵지 않지만 문제의 조건을 놓치지 않도록 주의해야 합니다. 아르키메데스는 등비수열의 합 공식을 사용하지 않았으므로 문제에서 아르키메데스가 사용한 방법을 유추합니다. 논제 4-1과 4-2는 동일한 문제이지만 서로 다른 방법으로 풀어야 합니다. 적분으로 쉽게 구할 수 있는 문제이지만, 여기서는 구분구적법을 제대로 적용할 수 있는지를 평가하고 있습니다. 논제 4-1은 제시문에 있는 아르키메데스가 사용한 방법을 제대로 알고 있는지를 묻는 문제입니다. 논제 4-2는 정적분을 이용해 도형 넓이를 구합니다.
2-1) A, B´, C´, D´, E의 x좌표를 순서대로 a, b, c, d, e라 하면 C´가 A와 E의 중점이므로 2c=a+e이고 B´가 A와 C´의 중점, D´가 C´와 E의 중점이므로 2b=a+c, 2d=c+e이다. 정리하면 b-a= c-b, d-c=e-d이고 c-a=(c-b)+(b-a)=2(b-a), e-c=(e-d)+(d-c)=2(d-c)이므로 c-a=e-c에서 b-a=c-b=d-c=e-d이다. 즉 A, B´, C´, D´, E의 x좌표들은 순서대로 등차수열을 이룬다. 제시문 (가)에 의해 A, B, C, D, E의 y좌표는 등차가 계차인 계차수열을 이루며 A, B´, C´, D´, E의 y좌표는 등차수열을 이룬다.
4-1) 먼저 y=-2x2+4x와 y=x+1의 교점을 구하면 2x2-3x+1=0에서 x=1/2, 1이므로 (1/2, 3/2)와 (1, 2)이다. 제시문 (나)의 그림에서 (1/2,3/2)을 A, (1, 2)를 E라 하면 C´에 해당하는 점은 (3/4, 7/4)이고 C에 해당하는 점은 (3/4, 15/8)이다. 그 결과 S(△ACC´)=1/2·1/8·1/4=1/64이고 S(△ACE)=2S (△ACC´) = 1/32이다.
△XYZ가 주어지고 점 X, Y, Z의 x좌표가 이 순서대로 증가한다고 할 때 XY의 중점에서 이차함수의 축과 평행하도록 직선을 그어 이차함수와 만나는 점을 W라 하고 YZ의 중점에서 이차함수의 축과 평행하도록 직선을 그어 이차함수와 만나는 점을 V라 하자. 이때 △XYZ로부터 △XYW와 △YZV를 만들어내는 것을 ‘시행’이라고 정의한다. △ACE가 1단계 삼각형이라면 (n+1)단계 삼각형은 n단계의 모든 삼각형에서 ‘시행’을 해 만들어지는 삼각형이다.
Q1
다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
(가) 함수는 수많은 수학자에 의해 다양한 방법으로 정의돼 왔다. 이 중 조지 토마스와 로스 피니의 정의가 있는데 다음과 같다. ‘함수는 집합 D의 각각의 원소들을 집합 C의 하나의 원소로 대응시키는 규칙이다.’ 여기서 집합 D를 ‘정의역’, 집합 C를 ‘공역’ 이라고 부른다. 특별한 언급이 없는 경우 수학에서 다루는 함수들은 정의역과 공역이 실수이다. 함수는 대응시키는 규칙이 같더라도 정의역과 공역이 바뀌면 다른 함수가 된다. 예를 들어 y=ax+b라는 함수의 정의역과 공역을 수열들의 집합으로 정의할 경우 등차수열은 또 다른 등차수열로 대응된다. 하지만 y=ax는 정의역과 공역을 수열의 집합으로 정의할 경우 등차수열이 등비수열로 대응된다. 같은 방식으로 y=ax2+bx+c같은 이차함수는 정의역이 등차수열의 원소인 경우 계차가 등차인 수열로 대응된다.
(나) 미분과 적분은 아이작 뉴턴과 고트프리드 라이프니츠에 의해 완성됐지만 핵심적인 아이디어는 고대 그리스의 수학자들이 만들었다. 제논이나 에우독소스를 포함해 많은 수학자가 미분과 적분의 기본 개념을 제시했지만 그 중에서도 가장 독보적인 인물은 아르키메데스였다. 그가 이차함수와 직선에 의해 생기는 도형의 면적을 적분을 사용하지 않고 구한 일은 놀라울 따름이다. 그림과 같이 A와 E에서 만나는 이차함수와 직선이 있을 때 AE의 중점에서 이차함수의 축과 평행하도록 직선을 그어서 이차함수와 만나는 점을 C라 한다. 이 직선과 AE가 만나는 점을 C´라 할 때 AC´의 중점과 C´E의 중점에서 축에 평행한 직선을 그어 이차함수와 만나는 점을 각각 B, D라 한다. 삼각형 ACE의 넓이는 삼각형 ABC와 삼각형 CDE의 넓이 합의 4배가 된다. 삼각형 ABC와 삼각형 CDE에서도 같은 방법으로 넓이 합이 각 삼각형의 4분의 1인 삼각형을 두 개씩 찾을 수 있고, 이를 무한히 반복하면 전체 삼각형의 넓이 합은 이차함수와 직선 사이의 면적과 같아진다. 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하고 식으로 표현하면 이차함수와 직선 사이의 면적은 S+S+S+ …가 된다. (다) 반지름 길이가 r인 원의 넓이를 원에 내접하는 정다각형 넓이의 극한으로 구해보자. 반지름 길이가 r인 원에 내접하는 정n각형 넓이를 Sn, 원의 중심을 O, 정n각형에 인접한 두 꼭지점을 각각 A, B라 하면
이다.
여기서 hn은 O에서 AB까지의 거리를 뜻한다. 정n각형의 둘레를 ln이라 하면 n•AB=ln이므로 이것을 ㉠에 대입하면
Sn=1/2lnhn 이 된다.
여기서 n을 크게 하면 할수록 정n각형의 둘레 길이 ln은 원 둘레의 길이 2πr이고 △OAB의 높이 hn은 r이므로
이다. 즉 n→∞일 때 Sn은 원의 넓이라고 할 수 있다. 이와 같이 어떤 도형의 넓이 또는 부피를 구할 때 넓이 또는 부피를 이미 알고 있는 기본 도형으로 주어진 도형을 세분해 근사값을 구하고 그것의 극한값으로 주어진 도형의 넓이와 부피를 구하는 방법을 구분구적법이라고 한다.
1) 제시문 (가)에서 밑줄 친 부분과 같은 결과가 나오는 이유에 대해 서술하라.
2-1) 제시문 (나)에서 A, B, C, D, E의 y좌표와 A, B´, C´, D´, E의 y좌표가 어떤 수열을 이루는지 설명하라.
2-2) 선분 BF와 선분 B´ F의 길이 비를 구하라.
2-3) 제시문 (나)의 밑줄 친 부분과 같은 결과가 나오는 이유를 설명하라.
3) 제시문 (나)의 증명은 아르키메데스가 쓴 ‘포물선의 구적’(Quadrature of the Parabola)에 실려 있다. 다음은 이 책의 일부다.
<정리 23> 삼각형 면적들의 수열 A, B, C, D …, Z가 주어졌을 때 이 수열이 A가 가장 크고 수열의 각 항이 그 다음 항의 4배라면 다음 식이 성립한다.
A+B+C+D+…+Z+1/3Z=4/3A
아르키메데스는 B에서 Z까지 합에 B에서 Z까지 합의 3분의 1을 더해 앞 식을 만들었다. 이 과정을 구체적으로 서술하고 이를 이용해 S+1/4S+1/42S+…를 S에 관한 식으로 나타내라.
4-1) 제시문을 활용해 y=-2x2+4x와 y=x+1로 둘러싸인 부분의 넓이를 아르키메데스가 사용한 방법으로 구하고 이 방법이 구분구적법인지에 대해 서술하라.
4-2) y=-2x2+4x와 y=x+1로 둘러싸인 부분의 넓이를 적분을 이용해 구하고 앞의 결과와 비교하라.
전문가 클리닉
정적분과 부정적분은 계산방법은 유사하지만 정의는 다릅니다. 부정적분은 미분을 이용해 정의하고 정적분은 구분구적법을 이용해 정의합니다. 수능에 출제되는 계산문제 위주로 공부하다 보면 부정적분과 정적분의 차이를 이해하지 못하고 정적분은 부정적분을 한 뒤에 숫자만 대입하는 방식으로 이해하기 쉽습니다. 대학에서도 수능 위주 학습의 문제점을 알기 때문에 구분구적법은 논술에서 가장 많이 출제되는 문제입니다.
논제 1은 수열과 함수 사이의 관계를 묻는 문제입니다. 먼저 계차수열의 의미를 생각하고 그것을 어떻게 식으로 나타낼지 고민해야 합니다. 조건을 식으로 바꾸는 일은 수학문제를 해결하는 시작점입니다. 논제 2-1은 제시문과 논제 1의 결과를 활용하는 문제입니다. 각 점의 x좌표와 y좌표가 어떤 수열을 이루는지 생각하면 문제를 쉽게 풀 수 있습니다. 논제 2-2는 논제 2-1을 이용해 길이 비를 나타내면 구할 수 있습니다. 논술에서는 이처럼 앞의 문제를 이용해 다음 문제를 푸는 패턴이 자주 등장하므로 이런 흐름에 익숙해져야 합니다. 이 문제는 변수를 어떻게 사용하느냐가 문제의 난이도를 좌우합니다. 등차수열과 계차수열에서 어떤 값을 변수로 잡아야 문제를 쉽게 풀 수 있을지 고려합니다. 논제 2-3은 앞의 문제와 마찬가지로 논제 2-2의 결과를 이용해 풀 수 있습니다. 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱을 2로 나눈 값이기 때문에 높이가 동일하다면 삼각형 넓이의 비율은 밑변의 길이 비율과 같습니다. 삼각형을 적당히 분해한 뒤 밑변 길이의 비율을 이용하면 넓이 비율을 쉽게 구할 수 있습니다. 논제 3은 무한등비수열의 합을 아르키메데스가 사용한 방법을 이용해 구하는 문제입니다. 답을 구하는 일은 별로 어렵지 않지만 문제의 조건을 놓치지 않도록 주의해야 합니다. 아르키메데스는 등비수열의 합 공식을 사용하지 않았으므로 문제에서 아르키메데스가 사용한 방법을 유추합니다. 논제 4-1과 4-2는 동일한 문제이지만 서로 다른 방법으로 풀어야 합니다. 적분으로 쉽게 구할 수 있는 문제이지만, 여기서는 구분구적법을 제대로 적용할 수 있는지를 평가하고 있습니다. 논제 4-1은 제시문에 있는 아르키메데스가 사용한 방법을 제대로 알고 있는지를 묻는 문제입니다. 논제 4-2는 정적분을 이용해 도형 넓이를 구합니다.
2-1) A, B´, C´, D´, E의 x좌표를 순서대로 a, b, c, d, e라 하면 C´가 A와 E의 중점이므로 2c=a+e이고 B´가 A와 C´의 중점, D´가 C´와 E의 중점이므로 2b=a+c, 2d=c+e이다. 정리하면 b-a= c-b, d-c=e-d이고 c-a=(c-b)+(b-a)=2(b-a), e-c=(e-d)+(d-c)=2(d-c)이므로 c-a=e-c에서 b-a=c-b=d-c=e-d이다. 즉 A, B´, C´, D´, E의 x좌표들은 순서대로 등차수열을 이룬다. 제시문 (가)에 의해 A, B, C, D, E의 y좌표는 등차가 계차인 계차수열을 이루며 A, B´, C´, D´, E의 y좌표는 등차수열을 이룬다.
4-1) 먼저 y=-2x2+4x와 y=x+1의 교점을 구하면 2x2-3x+1=0에서 x=1/2, 1이므로 (1/2, 3/2)와 (1, 2)이다. 제시문 (나)의 그림에서 (1/2,3/2)을 A, (1, 2)를 E라 하면 C´에 해당하는 점은 (3/4, 7/4)이고 C에 해당하는 점은 (3/4, 15/8)이다. 그 결과 S(△ACC´)=1/2·1/8·1/4=1/64이고 S(△ACE)=2S (△ACC´) = 1/32이다.
△XYZ가 주어지고 점 X, Y, Z의 x좌표가 이 순서대로 증가한다고 할 때 XY의 중점에서 이차함수의 축과 평행하도록 직선을 그어 이차함수와 만나는 점을 W라 하고 YZ의 중점에서 이차함수의 축과 평행하도록 직선을 그어 이차함수와 만나는 점을 V라 하자. 이때 △XYZ로부터 △XYW와 △YZV를 만들어내는 것을 ‘시행’이라고 정의한다. △ACE가 1단계 삼각형이라면 (n+1)단계 삼각형은 n단계의 모든 삼각형에서 ‘시행’을 해 만들어지는 삼각형이다.
