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과학영재학교와 과학고 입시에서 창의적 문제해결력 검사의 비중이 커지고 문제 유형 또한 바뀌고 있다. 출제가능성이 높은 예상문제를 풀어보면서 실전감각을 길러두자.

미래탐구(www.mirae-academy.co.kr)는 영역별 강사진의 전문성을 바탕으로 수능과 논구술 프로그램을 진행하고 있으며 특화된 TFT를 두고 과학영재학교, 과학고 대비반을 운영하고 있다. 원고 집필에는 김지혁(팀장, 물리), 윤종선(수학), 권정미(화학), 김정연(생물), 윤선애(지구과학) 강사가 참여했다.

수학
{tIMG_t1}1. 그림과 같이 원 O의 주위에 n개의 점을 찍은 뒤 임의의 두 점을 선분으로 연결했다. 단 3개 이상의 선분이 한 점에서 만나는 경우는 없다. 물음에 답하라.

1) 원의 내부에 생기는 선분 개수는 몇 개인가? (변의 중간에 꼭지점이 있는 경우는 세지 않는다.)
2) 원의 내부에 그어진 선분에 의해 원은 몇 개의 영역으로 나눠지는가?

예시답안
1) 원주위에 임의의 네 점을 선택할 때마다 꼭지점이 하나씩 생기므로 원의 내부에 생기는 꼭지점 개수는 nC₄다. 임의의 두 점을 연결해 하나의 선분을 만들기 때문에 선분 개수는 nC₂다. 원의 내부에 생기는 꼭지점 하나가 인접한 두 선분을 4개로 나누기 때문에 전체 선분 개수는 nC₂+2nC₄다.

2) v-e+f=1(v:꼭지점 개수, e:모서리 개수, f:면의 개수)에서 원주위의 점까지 합해 v=n+nC₄이고 e=nC₂+2nC₄이므로 f=1-v+e=1-n-nC₄+nC₂+2nC₄=1-n+nC₂+nC₄다. n각형 외부에는 n개 영역이 있으므로 f에 n을 더하면 원은 1+nC₂+nC₄개 영역으로 나뉜다.

2. 가로, 세로 모두 네 칸인 정사각형에서 각 줄마다 A, B, C, D가 각각 한 번씩 나오도록 배열한 도형을 고른사각형이라고 부르기로 하자.

1) 오른쪽 그림과 같은 모양이 들어간 고른사각형은 몇 개인가?
2) 고른사각형의 전체 개수를 구하시오.

예시답안
1) 2행 2열에 A, C, D 중 하나가 놓인다고 가정하자. 만약 A가 놓인다면 2행은 A, D, C 순이고 3행은 D, A, B나 D, B, A가 놓이며 4행은 3행에 맞춰 C, B, A나 C, A, B가 놓이므로 전체 2가지 경우가 존재한다. C가 놓인다면 2행에 C, D, A가, 3행에 D, A, B가, 4행에 A, B, C가 놓여 1가지 경우가 존재한다. D가 놓인다면 C일 때와 마찬가지로 1가지 경우가 존재하므로 고른사각형은 총 4개다.

2) 오른쪽 그림과 같이 1행과 1열에만 알파벳을 배열하는 방법은 총 4!×3!개다. 1행과 1열이 모두 배열된 각각의 경우마다 4개의 고른사각형이 존재하므로 고른사각형의 전체 개수는 총 4×4!×3!=(4!)²=24²=576개다.

과학
1. 그림은 11월 어느 날 지구와 화성의 위치를 나타낸 것이다. 물음에 답하라.(단 화성의 적도면과 두 위성의 공전궤도면이 나란하다고 가정한다.)

1) 11월 이후 화성이 뜨는 시각은 어떻게 달라지는지 옳은 그래프를 고르시오.

2) 화성 북반구의 중위도에 사는 화성인이 새벽 6시에 그림과 같은 위치에서 포보스와 데이모스를 관측했다. 다음 자료를 이용해 약 1시간 뒤 이들의 위치가 어떻게 바뀔지 그림을 그리고 위치와 각도를 표시하시오.(단 화성의 공전 효과는 무시한다.)


예시답안
1) 충의 위치에 있는 화성은 보름달과 뜨고 지는 시각이 같으므로 초저녁(18시)에 뜬다. 지구의 공전주기는 365일, 화성의 공전주기는 687일이므로 지구의 공전속도가 더 빠르다. 그러므로 처음 지구(지구1)의 위치에서 화성(화성1)은 충의 위치에 보이지만 시간이 흐를수록 화성은 뒤로 쳐져 지구에서 볼 때 동구(화성2)의 위치에 온다. 동구의 위치에 오면 초저녁에 화성(화성2)이 남중하므로 자정에 남중하는 충(화성1)의 위치보다 먼저 뜬다.

2) 포보스와 데이모스는 화성의 자전과 공전에 의해 위치가 변한다. 화성의 자전주기가 24시간이므로 포보스와 데이모스는 한 시간에 약 15°씩 동에서 서로 이동한다. 포보스는 공전주기가 8시간이므로 한 시간에 약 45°씩, 데이모스는 공전주기가 약 30시간이므로 한 시간에 약 12°씩 서에서 동으로 이동한다. 포보스는 동에서 서로 15° 이동한 효과와 서에서 동으로 45° 공전한 효과가 합쳐져 결국 서에서 동으로 약 30° 돌아가는 일주운동을 한다. 반면 데이모스는 동에서 서로 15° 이동한 효과와 서에서 동으로 12° 공전한 효과가 합쳐져 동에서 서로 3° 정도 이동한다.

2. 다음은 신부전증 환자의 신장에 이상이 생겼을 때 사용하는 노폐물을 인공적으로 걸러내기 위한 투석장치를 나타낸 것이다.

1) 신선한 투석액 내의 농도가 혈액 내의 물질 농도보다 반드시 낮아야만 하는 성분은 무엇인가?
2) 신선한 투석액 내에 환자의 혈액 농도와 동일하게 유지시켜야 하는 성분은 무엇인가?
3) 환자가 포도당이 부족한 상태라면 혈액투석을 하면서 동시에 포도당을 공급할 수 있는 방법은 무엇인지 투석 원리를 이용해 서술하시오.

예시답안
1) 신장에 이상이 생겨 오줌으로 노폐물 배설이 잘 일어나지 않는 사람은 혈액에 독성이 있는 요소가 증가한다. 따라서 인공투석 장치를 이용해 요소를 걸러내는데, 요소가 투석액 쪽으로 확산돼야 하므로 투석액에는 요소의 농도가 낮을수록 좋다.

2) 투석장치에서는 반투과성 막을 사용하므로 요소뿐 아니라 포도당, 아미노산, 무기염류가 혈액에서 투석액 쪽으로 빠져 나올 위험이 있다. 따라서 투석액에는 혈액과 동일한 농도의 포도당, 아미노산, 무기염류를 넣어야 한다.

3) 투석장치는 고농도에서 저농도로 물질이 이동하는 확산을 이용한 기기다. 신선한 투석액에 포도당을 넣어 투석장치를 작동시키면 요소가 제거되는 동안 포도당이 투석액에서 환자 몸으로 확산돼 부족한 포도당을 보충한다.

3. 식물의 개화는 빛을 받는 시간(명기)과 빛을 받지 않는 시간(암기)의 길이에 영향을 받는다. 다음은 광주기가 식물의 개화에 미치는 영향을 알아보는 실험이다. 식물에 조명상자를 설치해 상자 안의 광주기를 다르게 조절했다. (단 상자 밖은 하루 16시간씩 빛을 쪼여 주었다.)

1) 실험 결과를 고려할 때 개화 유도 물질은 식물의 어느 부분에서 생성되는가?
2) 식물에서 꽃이 피기 위해서는 어떤 조건을 만족시켜야 하는지 실험 결과를 분석해 설명하시오.
3) 실험 D에서 꽃이 피지 않은 이유를 설명하시오.

예시답안
1) 실험 B는 꽃이 피었고 실험 C는 꽃이 피지 않는 점을 볼 때 개화 유도 물질은 잎에서 생성된다.

2) 식물에서 꽃이 피기 위해서는 명기보다 암기가 중요하며 적어도 8시간보다 더 많은 시간 동안 암기 시간이 주어져야 한다.

3) 실험 D에서 전체 암기는 9시간이 주어졌지만 암기 시간이 지속적으로 주어지지 않고 중간에 빛이 쬐어 암기가 누적되지 않기 때문이다.

4. 가지달린 삼각플라스크(1L)에 풍선을 연결하고 헬륨(He) 기체를 넣어 127℃로 가열했더니 풍선의 부피가 1031mL이 되었다.

1) 온도를 27℃로 낮추었을 때 풍선의 지름을 구하라. 단 플라스크 등의 열 수축은 무시하고 풍선은 공 모양이라고 가정한다.
2) 127℃에서 가지달린 삼각플라스크에 있는 기체를 앞의 그림과 같이 표시할 때 27℃에서 기체의 분포 경향성을 그림으로 설명하라.

예시답안


5. 그림과 같은 실험장치를 이용해 아세트산 농도와 마그네슘 리본의 길이를 변화시키면서 5가지 실험조건(A~E)에서 풍선이 커지는 속도를 측정했다. 1cm의 마그네슘 리본이 완전히 반응하는 데 아세트산 2mL가 필요했다.

1) 실험조건(A~E)중 풍선이 가장 빨리 커지는 경우는 무엇인가?
2) 반응이 모두 끝났을 때 풍선의 크기가 같은 경우는 무엇인가?
3) 실험조건 E의 경우 반응이 다 끝난 뒤 플라스크 속과 풍선 속에는 각각 어떤 물질이 들어있는가?

예시답안
1) 반응물질의 농도가 진하고 마그네슘의 표면적이 클수록 반응이 빠르다. 그러므로 C에서 풍선이 가장 빨리 커진다.

2) C, D, E에서 반응하는 마그네슘 양이 모두 같다. 따라서 반응속도는 다르지만 반응을 통해 생성되는 기체 양은 모두 같다.

3) E에서 아세트산과 마그네슘이 2CH₃COOH+
Mg→Mg(CH₃COO) ₂+H₂와 같이 반응한다. 따라서 풍선 속에는 (공기와) 수소 기체가 있고 삼각플라스크 속에는 Mg²⁺, CH₃COO-, 물이 있다.

6. 그림은 저항 R_A 와 R_B의 전압을 변화시키면서 전류를 측정하는 장치다. 그래프 (가)는 R_A 와 R_B에 흐르는 전류를 전압에 따라 나타낸 것이고 그래프 (나)는 RA와 RB의 전압을 시간에 따라 나타낸 것이다.
물음에 답하라.

1) 10초 동안 R R_A와 R_B 각각의 크기 변화를 설명하시오.
2) 10초일 때 저항 R R_A와 R_B의 소비전력을 비교하시오.
3) 10초 동안 R R_A가 소비한 전기에너지 양을 구하고 R_B에서 소비한 전기에너지와 비교하시오.

예시답안
두 저항은 병렬로 연결돼 있으므로 두 저항에 걸리는 전압은 항상 같고 시간에 비례해 증가한다.

1) R_A는 일정하고 R_B 는 증가한다. (∵전류-전압 그래프에서 기울기의 역수가 저항의 크기다.)

2) 10초일 때 두 저항에 걸리는 전압과 전류는 10V, 2mA로 같으므로 소비전력도 같다. (∵P=V×I)

3) 10초 동안 전압은 시간에 비례해 증가하므로 R_A가 소비한 전기에너지 양은 그래프 (가)의 밑넓이와 같다. 즉 E=×10×0.002=0.01(J)다. 그래프 (가)에서 RB의 밑넓이가 더 넓으므로 10초 동안 R_B 가 소비한 전기에너지 양이 더 많다.

7. 그림과 같이 질량 M인 물체와 질량 m인 물체가 용수철상수 k=90N/m인 용수철과 연결된 줄을 통해 도르래에 걸려 있다. 중력가속도 g는 10m/s²라고 할 때 다음 물음에 답하라.

1) m=4kg일 때 두 물체가 움직이지 않고 평형을 이루려면 M의 값은 얼마이어야 하는가?
2) m=4kg이고 M=3kg일 때 용수철의 늘어난 길이는 얼마인가?

예시답안
1) 줄에 걸리는 힘의 크기를 장력이라고 한다. 줄에 걸린 장력은 물체에 작용하는 힘의 크기와 같다. 전체 실에 걸린 장력을 T라 하면 질량 m인 물체의 운동방정식은 mg-2T=0이다. 또 질량 M인 물체의 운동방정식은 T-Mg=0이다. 두 식에서 T를 소거하고 M에 관해 정리하면 M=이므로 M=(kg)이다.

2) 두 물체의 이동거리는 가속도 크기에 비례하므로(∵s=at²) m과 M의 운동방정식은 다음과 같이 표현된다.
2T-mg=ma, Mg-T=M×2a
m=4kg, M=3kg, g=10m/s2을 대입하고 두 식을 연립해 계산하면 다음과 같이 구해진다.
a=5/4(m/s²), T=45/2(N)
용수철에 의한 탄성력은 실에 걸린 장력과 크기가 같다. 용수철의 늘어난 길이를 x라고 할 때 식으로 표현하면 다음과 같다.
F_탄=kx=45/2
k=90(N/m)이므로 x=1/4 (m)=25cm이다.