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정육면체를 사각뿔로 나누기

정육면체 = 6개의 사각뿔?!

정육면체를 여섯 개의 사각뿔로 나누려면 어떻게 해야 할까? 그림과 같이 정육면체의 중심(O)을 기준으로 마주 보는 꼭짓점을 연결하면 모양과 크기가 같은 사각뿔 O-ABCD를 얻을 수 있다. 사각뿔O-ABCD에서 △OAB, △OBC, △OCD, △ODA는 모두 서로 합동인 이등변삼각형이다. 이등변삼각형 OBC에서 각 OBC와 각 OCB는 약 54.7 ° 로 같다.
 

삼각형의 외심
 

삼각형의 각 변에 중점을 잡아 이들 점에서 변에 수직인 직선(수선)을 그으면 이 직선들은 한 점에서 만난다. 그리고 이 점을 중심으로 하는 원 중에서 삼각형의 세 점을 지나는 원은 단 하나뿐이다. 이때 이 원을 삼각형의 외접원이라 하고, 이 외접원의 중심을‘삼각형의 *외심’이라고 한다. 삼각형의 외심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 외접원의 반지름으로 모두 같다. 삼각형 외심의 성질을 이용하면 훼손된 문화재를 복원할 수 있다. 문화재 중 경주박물관에 있는 얼굴무늬 수막새 일부를 외심을 이용해 복원해 보자.

먼저 수막새 조각의 가장자리에서 적당한 세 점 A, B, C를 잡는다. A, B, C를 연결해 삼각형을 그린다음, 삼각형 ABC의 외심을 찾는다. 이때 삼각형이 둔각삼각형이면 외심은 삼각형 밖에 생긴다.

외심을 찾으면 외심에서 꼭짓점에 이르는 거리를 반지름으로 하는 외접원을 그리자. 대칭을 이용해 훼손된 나머지 부분을 복원할 수 있다.
 

*삼각형의 오심

내심 : 세 내각의 이등분선의 교점. 내접원의 중심이다.
외심 : 세 변의 수직이등분선의 교점. 외접원의 중심이다.
무게중심 : 세 중선의 교점. 중선은 변 길이를 이등분하는 선이다.
수심 : 세 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 교점이다.
방심 : 한 내각의 이등분선과, 다른 2개의 꼭짓점에 대한 두 외각의 이등분선의 교점이다.