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지구가 끄는 힘, 중력의 의미

우주의 구조를 파악하거나 그 진화과정을 추적하기 위해서는 무엇보다 중력에 대한 올바른 이해가 선행돼야 한다.

이 우주에는 네가지 힘이 존재한다. 즉 중력 전자기력 그리고 두가지 종류의 핵력이 바로 그것이다. 그 중 우주와 같은 거시 세계에서 작용하는 힘은 중력과 전자기력이다. 물론 핵력이 우주의 진화와 아무 상관이 없다는 이야기는 아니다. 이 시리즈 끝부분에서 알게 되겠지만 별을 빛나게 하고 태초의 우주를 지배한 힘은 바로 핵력이다. 그러나 현재 우리 눈에 보이는 우주의 모습을 이루는 데는 거리가 무한대인 공간까지 영향을 미칠 수 있는 중력과 전자기력이 원자 규모의 작은 공간에서만 작용하는 핵력보다는 훨씬 유효하다는 뜻이다.

그나마 전자기력은 중력에 비해 매우 미미한 역할밖에 하지 못한다. 왜냐하면 이 우주와 천체들은 전기를 띠고 있지 않기 때문이다. 예를 들어 어떤 별이 (+)전기를 띠고 있는 일은 없다. 물론 별 중에는 우리가 상상할 수 없을 만큼 강한 자기장을 가지고 있는 것도 있고, 진공과 다름없는 우주 공간속에서도 소규모적으로 전하를 가진 것들이 있다. 하지만 별과 행성이 우리 태양계와 같은 모임을 이루고, 별들이 모여 은하를 만들고, 은하들이 모여 은하단, 나아가서는 대우주를 구성하는 데는 오직 중력만이 절대적인 역할을 하게 된다. 따라서 우주의 구조와 진화를 연구하는 학문인 천문학에서 중력은 절대적인 위치를 차지한다. 이론 천문학의 바닥에는 중력 이론이 깔려 있을 수밖에 없는 것이다.

뉴턴과 아인슈타인

현재까지 우리는 완성된 중력 이론이라고 말할 수 있는 것으로 두가지를 들 수 있다. 그것은 바로 뉴턴(Newton)의 만유인력 이론과 아인슈타인(Einstein)의 상대성이론이다. 상대성이론 중에서도 중력을 다루는 부분은 일반상대성 이론이라고 불리는데, 뉴턴의 이론과는 달리 천문학이나 물리학 전공 대학생들도 고학년이 되어야만 배울 수 있을 정도로 내용이 어렵다. 따라서 중고등학교의 기초 천문학 수업시간에는 당연히 뉴턴의 이론만 학습하게 된다.

두이론의 뿌리는 같은 것으로 일반상대성 이론이 뉴턴의 이론을 '보정'해주는 입장에 있다. 여기서 보정한다는 말은 뉴턴의 이론이 '약한'중력의 경우에는 일반상대성 이론과 일치하지만 '강한'중력의 경우에는 정확한 일반상대성 이론의 근사식에 불과하다는 사실을 의미한다. 따라서 강한 중력의 경우에는 뉴턴의 이론만으로는 도저히 설명할 수 없는 일반상대성이론의 효과들이 나타나게 된다.
 

(그림1)탸양 주변에서 휘는 힘(그림1)탸양 주변에서 휘는 힘
 

일반상대론적인 입장에서 볼 때 태양의 중력은 지극히 약한 것에 속하지만 아인슈타인이 예측했던 미세한 일반상대론적 효과들은 태양 주변에서도 분명히 관측되고 있다. 가장 대표적인 예로 (그림1)과 같이 태양 주변에서 휘는 빛의 경우를 들 수 있다. 그 휘는 각도는 극히 작아서 표면 부근을 지나는 경우 약 1.75도밖에 되지 않는다. 이 현상의 관측은 일식을 이용하여 다음과 같이 검증된다. 개기일식은 물론 낮에 일어나지만 이때 달이 태양을 가리는 덕분에 주변의 별들이 보이게 된다. 이 별들을 사진으로 찍어 두었다가 약 6개월 뒤 그 별들이 다시 밤하늘에 나타날 때 다시 사진을 찍어 두사진을 비교한다. 빛은 태양 주변에서 (그림1)처럼 휘게 되므로, 결국 (그림2)에서와 같이 일식 사진에서 별들이 밤하늘 사진에서보다 서로 더 멀리 떨어진다.
 

(그림2)태양 주변에서 휘는 빛의 검증(그림2)태양 주변에서 휘는 빛의 검증
 

만일 중력이 극단적으로 강하다면 어떤 일이 벌어질까? 일반상대론에 따르면 중력이 강하면 강할수록 빛이 휘는 각도는 더욱 커진다. 그리하여 마침낸 검은구멍(black hole)과 같은 천체에서는 빛이 아예 (그림3)처럼 휘어서 들어가게 된다. 이처럼 뉴턴과 아인슈타인에 의해 기술되는 중력은 우리의 상식을 완전히 벗어난 신비한 우주를 전개하게 된다.

중력은 중력 가속도에 의해서 기술된다. 이제 완전히 중고등학교에서 배우는 천문학으로 돌아와 중력가속도에 관해 학습해 보자. 이 분야는 중고등학교에서 배우는 물리학과 완전히 일치한다.
 

(그림3)검은 구명 주위에서 휘는 빛(그림3)검은 구명 주위에서 휘는 빛


속도와 가속도

먼저 물체의 운동을 기술하는 가장 기본적인 용어의 하나인 속도부터 살펴보기로 하자. 머릿속에 속도의 개념이 없는 사람은 아마 없을 것이다. 어떤 사람이 자동차를 타고 두시간 걸려서 1백44km의 거리를 운동했다면 그 자동차의 (평균)속도는 시속 72km 또는 환산해 초속 20m가 된다. 즉 속도는 운동한 거리를 단순히 시간으로 나누어 얻게 되고 단위는 km/시, m/분, cm/초 등으로 주어진다. 그리고 그 개념 또한 우리 일상생활에서 말하는 '속도'와 비슷하기 때문에 이해하는데 별 어려움이 없다.

지금부터 특별한 경우가 아니면 길이의 단위로는 cm, 질량의 단위로는 g, 시간의 단위로는 초를 사용하기로 한다. 이 단위들을 CGS단위계라 하는데 물론 C는 cm, G는 g, S는 초(second)를 각각 의미한다.

물체가 직선상을 일정한 속도로 움직이는 운동을 우리는 등속도 운동이라고 한다. 등속도 운동의 경우 이동거리 s, 속도 v, 시간 t사이에는
v=${v}_{0}$ (1)
s=${v}_{t}$ (2)

와 같은 관계가 있다. 여기서 ${v}_{0}$는 처음속도를 의미한다. 식 (1)은 등속도 운동의 경우 물체의 속도는 언제나 처음속도와 같다는 당연한 사실을 의미한다. 식(1)로 주어지는 속도 v와 시간 t사이의 그래프는 ${v}_{0}$>0이라고 가정하는 경우 가로축이 t이고 세로축이 v인 평면에서 (그림4)의 왼쪽 그림과 같이 그려진다는 것은 이해하기 쉽다.
 

(그림4)등속도 운동의 속도-시간, 거리-시간 그래프(그림4)등속도 운동의 속도-시간, 거리-시간 그래프


식 (2)는 바로 관계식 (거리)=(속도)X (시간)을 의미한다. 식 (2)를 이용하여 거리 s와 시간 t사이의 그래프를 그려 보자. 식 (2)가 x-y 평면 상에서 원점을 지나는 직선의 방정식인 y=ax(a는 기울기)와 같은 꼴임에 유의하면, 그래프는 (그림4)의 오른쪽 그림처럼 가로측이 t이고 세로측이 s인 평면에서 기울기가 v(v=${v}_{0}$>0가정)인 직선이 됨을 알 수 있다. 물체가 정지하여 있는 경우도 v=${v}_{0}$=0인 등속도 운동으로 볼 수 있음에 유의하자.

속도에 비하면 가속도는 그 의미가 훨씬 더 까다롭고, 일상 생활에서 우리가 쓰는 말 '가속도'와도 많은 차이가 있다. 그리고 단위도 cm/초²과 같이 주어져서 물리적 의미가 한눈에 들어오지 않는다. 물체의 운동을 기술함에 있어서 가속도는 속도가 변하는 요인이 된다. 따라서 꼭 물체가 점점 빨라지는 경우에만 가속도가 있는 것이 아니고, 점점 느려지는 경우에도 가속도는 존재하는 것이다. 앞의 경우는 가속도의 방향이 속도의 방향과 같고, 뒤의 경우는 방향이 반대라고 정의한다. 뒤의 경우 속도가 (+)부호를 가지면 가속도는 (-), 속도가 (-)부호를 가지면 가속도는 (+)부호를 갖는다.

직선 운동의 경우 가속도가 0이라는 말은 물체의 속도가 변하지 않는다는 뜻이다. 즉 등속도 운동을 말한다. 그리고 직선 운동의 경우 가속도가 0이 아닌 상수의 값을 갖는다는 말은 물체의 속도가 일정한 변화율을 유지하며 빨라지거나 느려진다는 말이다. 나중 경우와 같은 물체의 운동을 등가속도 운동이라고 한다.

초속도 ${v}_{0}$인 물체가 일정한 가속도 a에 의하여 시간 t가 경과한 후 v라는 속도를 갖게 되면 가속도 a는 a=(v-${v}_{0}$)/t (3)로 정의된다. 예를 들어 ${v}_{0}$=3cm/초로 운동하던 물체가 4초 후 v=7cm/초의 속도를 갖도록 가속됐다면 이 때 가속도는 a=1cm/초² 이 된다.

식 (3)을 변형하면 v=${v}_{0}$+at (4)를 얻는다. 식 (4)에서 알 수 있듯이 초속도가 0인 물체도 가속도가 존재하면 시간이 경과한 후 속도의 값은 0이 아님을 알 수 있다. 식 (4)로 주어지는 속도 v와 시간 t사이의 그래프는 t>0, a>0, ${v}_{0}$>0 이라고 가정하는 경우 가로축이 t이고 세로축이 v인 평면에서 (그림5)의 왼쪽 그림과 같이 기울기가 a이고 수직 절편이 ${v}_{0}$인 직선이 된다. 즉 속도는 시간이 지남에 따라 일정하게 변한다는 사실을 알 수 있다.
 

(그림5)등가속도 운동의 속도-시간, 거리-시간 그래프(그림5)등가속도 운동의 속도-시간, 거리-시간 그래프
 

이번에는 등가속도 운동을 하는 경우 거리 s와 시간 t사이의 관계를 알아 보자. 이 경우 v와 ${v}_{0}$는 같지 않으므로 두 속도의 평균값에 시간 t를 곱해야만 한다. 따라서 s=[(${v}_{0}$+v)/2]t=[(${v}_{0}$+${v}_{0}$+at)/2]t (←v 에 식 (4)를 대입)=${v}_{0}$t+(at²/2) (5)를 얻는다. 식 (5)로 주어지는 거리 s와 시간 t사이의 그래프는 가로축이 t이고 세로축이 s인 평면에서 어떻게 그려지는지 알아 보자. 식 (5)는 s=(a/2)[t+(${v}_{0}$/a)]²- ${v}_{0}$²(2a) (6)과 같이 변형될 수 있으므로, 꼭지점이 (-${v}_{0}$/a,-${v}_{0}²$/(2a))이고 기울기가 a/2인 포물선임을 알 수 있다. 따라서 그래프는 t>0, a>0, ${v}_{0}$>0이라고 가정하면 (그림5)의 오른쪽 그림처럼 그려진다. 즉 등가속도 운동의 경우 시간이 지남에 따라 거리는 등속도 운동의 경우보다 급격히 변하게 된다. (그림5)를 (그림4)와 잘 비교해 보자.

이제 뉴턴의 운동법칙부터 공부해 보자. 물론 우리의 최종 목표는 뉴턴의 만유인력법칙으로 기술되는 중력을 이해하는데 있다.

가속도의 원인, 힘

물체의 운동을 기술할 때 힘이란 한마디로 가속도의 원인이 되는 것이라고 생각하면 된다. 예를 들어 어떤 물체가 직선 위에서 등속도 운동을 한다면 가속도가 0인 운동을 하는 상태이므로 힘을 전혀 받지 않고 있다고 말할 수 있다. 어떤 물체의 속도가 점점 빨라지거나 느려진다면 가속도가 존재하는 상태이므로 이는 힘이 작용한 결과로 해석해야만 한다. 정지해 있던 물체가 갑자기 움직이기 시작한 경우도 물론 힘이 작용한 결과이다.

같은 물체에 힘을 두배 세배··· 작용시키면 가속도는 힘에 비례하여 두배 세배···커지게 된다. 그리고 같은 힘을 질량이 다른 두 물체에 작용시키면 가속도는 질량에 반비례하여 나타난다. 즉 A라는 물체가 B라는 물체보다 질량이 두배 큰 경우 만일 같은 힘을 받는다면 A가 갖는 가속도는 B가 갖는 가속도에 비하여 반밖에 되지 않는다는 말이다.

이것을 정리한 것이 바로 뉴턴의 운동법칙이다. 즉 힘을 F, 질량을 m, 가속도를 a라고 하면 뉴턴의 운동법칙은 방정식 F=ma (7)

로 주어진다. 식 (7)은 등식 C=AB의 형태를 갖는다. C=0이면 A=0이거나 B=0이라야 하고, C=0이면 A=0이고 B=0일 수도 있다. 그런데 중고등학교 과학에서 질량이 0인 경우는 절대로 다루지 않으므로, 우리는 식(7)로부터 F=0이면 곧 a=0이라는 사실을 알 수 있다. 이 개념은 대단히 중요한 의미를 지닌다.

예를 들어 (그림6)에서처럼 오른쪽에서 왼쪽 방향으로 진행하여 오다가 오른쪽 방향으로 일정한 힘을 계속 받는 바람에 결국은 오른쪽 방향으로 되돌아가는, A→B→C→D→E→F→G와 같은 물체의 운동을 생각하여 보자. 여기서 일정한 힘이란 예를 들어 물체의 왼쪽 방향에서 계속 미는 손가락을 생각하면 된다. 언뜻 생각하면 D점에서는 물체가 힘을 안 받는 것처럼 보이나 그렇지 않음에 유의해야 한다. 만일 물체가 D점에서 힘을 안 받는다면 물체는 그 자리에 정지해야 할 것이다. 왜냐하면 물체가 D→E→F→G와 같이 운동을 계속 할 이유가 사라졌기 때문이다. 일정한 힘이 계속 작용했으므로 힘 F는 A-G점 중 어디서나 같아야 한다. 따라서 식 (7)에 의해 가속도 a 역시 어디서나 같아야 한다. 즉 (그림6)과 같은 운동을 하는 물체는 등가속도 운동을 하고 있다는 것을 알 수 있다.
 

(그림6)등가속도 운동의 한 예(그림6)등가속도 운동의 한 예
 

외부로부터 힘이 작용하지 않으면 정지하고 있는 물체는 계속 정지하여 있고 운동하는 물체는 계속 등속도로 직선운동을 언제까지나 계속한다. 즉 등속도운동을 하게 된다. 앞에서 언급했듯이 등속도 운동에는 물체가 정지해 있는 경우도 포함돼 있음에 유의하자. 이는 물론 식 (7)에서 F=0이면 a=0 이기 때문이다. 이것을 관성의 법칙이라고 한다.
 

(그림7)뉴턴의 만유인력(그림7)뉴턴의 만유인력


중력 가속도란

뉴턴의 만유인력 법칙에 따르면 질량이 각각 m1, m2인 두 물체가 (그림7) 윗그림처럼 거리 r만큼 떨어져 있으면 그 사이에는 F=Gm1m2/r² (8)

의 서로 끄는 힘이 작용한다. 여기서 G는 등식을 유지시켜 주는 상수, 만유인력 상수이다. 따라서 질량이 m인 어떤 물체와 질량이 M인 지구 사이에도 F=GMm/R² (9)

인 만유인력이 작용한다. 여기서 R은 지구의 반지름이다. 여기서 지구의 총질량은 마치 지구의 중심에 다 모아져 있는 듯이 만유인력이 작용하고 있음에 유의해야 한다. 사실은 물체도 만유인력 법칙에 따라 지구를 끌고 있는 것이지만 지구의 질량이 워낙 비교가 안 될 정도로 크기 때문에 물체가 지구의 중심방향으로 일방적으로 잡아당겨지는 것처럼 보인다. 이것이 바로 질량 m인 물체가 지구 표면에서 받는 중력이다. 즉 우리의 체중이란 다름아닌 지구가 우리를 중심 방향으로 끄는 힘인 것이다.

중력도 힘이므로 그것에 상응하는 가속도가 있게 된다. 물체를 공기 중에서 자유낙하 시키면 물체는 중력에 의해 밑으로 떨어진다. 이 때 물체는 밑의 방향으로 점점 더 빨라지게 되는데, 이는 바로 가속도가 존재한다는 증거이다. 그 가속도를 바로 중력가속도라고 부르는 것이다. 중력가속도의 크기는 누구나 일상 경험을 통해 잘 알고 있다. 만일 물체가 경험적으로 우리가 아는 중력가속도보다 덜 가속돼 떨어진다면 (즉 더 천천히 떨어진다면)우리는 누가 끈에 물체를 잡아매어서 천천히 내리는 것으로 생각하게 된다. 바로 그 가속도의 크기가 우리가 과학 시간에 말하는 g=9백80cm/초²이다.

예를 들어 물체를 자유낙하시킨 후 3초 후의 속도와 위치는 어떻게 될 지 계산해 보자. 물체는 등가속도 운동을 하므로 우리는 식 (4),(5)를 써야 한다. 따라서 우리는 두 방정식에 a=g, ${v}_{0}$=0을 대입하여

v=gt (10)
s=gt²/2 (11)


을 얻는다. 따라서 3초 후의 물체의 속도는 v=980×3=2940cm/초(=2.94m/초)가 되어 있고 떨어진 총거리는 s=980×3²/2=4410cm(=44.1m)에 이른다.

물체를 연직 위로 던지면 물체는 (그림6)을 90도 돌려놓은 것과 똑같이 등가속도 운동을 한다. 즉 어느 높이까지 도달했던 물체는 다시 내려오게 된다. 여기서도 일정한 중력 가속도 g가 계속 작용한 결과 올라가던 물체가 방향을 바꿔 다시 내려오게 되는 것임을 알 수 있다. 지구 표면에서 연직으로 ${v}_{0}$로 던져진 물체는 어떠한 운동을 하게 되는지 알아 보자. 중력 가속도의 방향(즉 아래방향)을(-)로 잡으면 물체는 위 방향으로 던져지므로 처음속도는 (+)값을 갖는다. 물체는 등가속도 운동을 하므로 우리는 식(4), (5)를 써야 한다. 따라서 우리는 두 방정식에 a= -g를 대입하여

 

v=${v}_{0}$-gt (12)
s=${v}_{0}$t-(gt²/2) (13)


을 얻는다. 따라서 이 두 식에 의한 물체의 운동은 (그림8)과 같게 된다.

다음 호에서는 중력 가속도의 응용인 지구 질량 측정, 케플러 법칙, 인공위성궤도 등에 관해 알아 보기로 한다.
 

(그림8)연직 위로 던져진 물체의 운동(그림8)연직 위로 던져진 물체의 운동


익힘문제
① 어떤 물체가 초속도 2cm/초, 반대 방향의 가속도 4cm/초²으로 운동을 시작하였다. 물체의 3초 후 속도와 물체의 5초 후 위치를 구하라.
② 지구 표면에서 연직으로 ${v}_{0}$ 로 던져진 물체가 최고 위치에 도달하는 시간과 그 때의 높이를 구하라.

익힘문제 해답
(1) 물체의 3초 후 속도는 식 (4)에 의하여 v=2+(-4)×3=-10cm/초가 된다. 즉 물체의 속도는 반대 방향에서 작용하는 가속도 때문에 3초 후에는 반대 방향으로 10cm/초 의 값을 갖게 된 것이다. 물체의 5초 후 위치는 식 (5)에 의하여 s=2×5+(-4)X5²/2=-40cm가 된다. 즉 5초 후에는 출발점에서 물체가 처음 움직인 방향 반대편 40cm되는 지점에 위치하게 된다.
(2) 최고점에서 물체의 속도는 0이 되므로 식 (12)로부터
v=${v}_{0}$-gt=0
가 되어 t=${v}_{0}$/g 를 얻는다. 이 때 최고점의 높이는 식 (13)으로부터
s=${v}_{0}$t-(gt²/2)
=${v}_{0}$(${v}_{0}$/g)-
(g/2)(${v}_{0}$/g)²
=${v}_{0}$²/(2g)
가 된다.

글 : 박석재 경희대 우주과학과 천문학

과학동아 1992년 06호

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