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[수학동아 클리닉] 유레카! 부력의 원리

수학실험실



2014년 7월 14일, 한 주물업자가 10원짜리 동전 40만 개를 녹여 팔려다가 한국은행법 위반 혐의로 경찰에 체포됐다. 10원짜리 동전 한 개에 들어있는 구리의 가치가 약 30~40원이었기 때문이다. 주물업자는 구리와 아연의 합금인 10원짜리 동전에 구리가 얼마나 포함돼 있는지 어떻게 알았을까?

10원짜리 동전 속 구리의 비율은?


2300년 전, 그리스의 수학자 아르키메데스는 히메론왕으로부터 새로 만든 왕관이 순금인지, 아니면 은이 섞여 있는지 알아오라는 명령을 받았다. 아르키메데스는 이 문제를 놓고 몇 날 며칠을 고민했다. 어느 날, 목욕하려고 욕탕에 들어간 아르키메데스는 물이 밖으로 흘러넘치는 것을 보았다. 그 순간, 해결의 실마리를 찾은 아르키메데스는 기쁜 마음에 목욕하다 벌거벗은 몸으로 거리에 뛰어나오면서 “유레카(알았다)!”라고 외쳤다.

아르키메데스는 어떤 사실을 알아내서 욕탕을 뛰쳐나갔을까? 물속에 물체를 넣으면 물체의 부피만큼 물이 넘친다. 금이 은보다 무거우므로 만약 같은 무게라면 금덩이보다 은덩이를 물에 넣었을 때 물이 더 많이 넘치게 된다는 사실을 깨달은 것이다. 그리고 아르키메데스가 알게 된 이 사실은 바로 부력의 원리다.

부력의 원리를 이용하면 합금에 포함된 금속이 각각 차지하는 비율을 수학적으로 계산할 수 있다. 그리고 아르키메데스는 부력의 원리로 왕관에 은이 섞여 있는 사실을 밝혔다. 그렇다면 아르키메데스가 살던 시대보다 2300년이나 지난 지금 왕관 대신 다른 것으로 부력의 원리를 확인해볼 방법은 없을까?

2006년까지 발행된 옛 10원짜리 동전은 구리와 아연의 합금인 황동으로 이뤄져 있다. 구리와 아연은 서로 밀도가 다른 금속이다. 그래서 서로 물에 대한 무게, 즉 비중이 다르다. 금속마다 비중이 다르다는 성질을 이용해 실험을 해보면 10원짜리 동전 하나에 들어 있는 구리와 아연의 비율을 구할 수 있다. 합금인 10원짜리 동전 속 두 금속의 비율을 계산해보며 아르키메데스가 생각해낸 부력의 원리를 생각해보자.











 
글 : 김동우
글 : 조혜인 수학동아 heynism@donga.com
이미지 출처 : GIB, Ⓒ김동우

수학동아 2016년 06호